Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102362 / 96222
↖ ↑ ↗
← S 64.127387°
E101.145630°		 ← 133.25 m → S 64.127387°
E101.148376°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
S 64.128585°
E101.145630°		 ← 133.25 m →
17 760 m²		 S 64.128585°
E101.148376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780963897705078 y=0.734119415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780963897705078 × 217)
    floor (0.780963897705078 × 131072)
    floor (102362.5)     		tx = 102362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734119415283203 × 217)
    floor (0.734119415283203 × 131072)
    floor (96222.5)     		ty = 96222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102362 / 96222 ti = "17/102362/96222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102362/96222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102362 ÷ 217
    102362 ÷ 131072     		x = 0.780960083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96222 ÷ 217
    96222 ÷ 131072     		y = 0.734115600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780960083007812 × 2 - 1) × π
    0.561920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76532427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734115600585938 × 2 - 1) × π
    -0.468231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47099170174104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76532427} λ = 1.76532427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47099170174104))-π/2
    2×atan(0.229697580708066)-π/2
    2×0.225781143940993-π/2
    0.451562287881985-1.57079632675     		φ = -1.11923404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76532427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11923404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.127387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102362 KachelY 96222 1.76532427 -1.11923404 101.145630 -64.127387
    Oben rechts KachelX + 1 102363 KachelY 96222 1.76537220 -1.11923404 101.148376 -64.127387
    Unten links KachelX 102362 KachelY + 1 96223 1.76532427 -1.11925496 101.145630 -64.128585
    Unten rechts KachelX + 1 102363 KachelY + 1 96223 1.76537220 -1.11925496 101.148376 -64.128585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11923404--1.11925496) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dl = 133.281319999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11923404--1.11925496) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dr = 133.281319999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76532427-1.76537220) × cos(-1.11923404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.436371759337697 × 6371000     		do = 133.251366266112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76532427-1.76537220) × cos(-1.11925496) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.436352936127808 × 6371000     		du = 133.245618372529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11923404)-sin(-1.11925496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436371759337697-0.436352936127808)×R²
    abs(1.76537220-1.76532427)×1.88232098893848e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88232098893848e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88232098893848e-05×40589641000000     		ar = 17759.5349449464m²