Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102361 / 99393
↖ ↑ ↗
← S 67.677128°
E101.142883°		 ← 116.01 m → S 67.677128°
E101.145630°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
S 67.678171°
E101.142883°		 ← 116 m →
13 459 m²		 S 67.678171°
E101.145630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780956268310547 y=0.758312225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780956268310547 × 217)
    floor (0.780956268310547 × 131072)
    floor (102361.5)     		tx = 102361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758312225341797 × 217)
    floor (0.758312225341797 × 131072)
    floor (99393.5)     		ty = 99393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102361 / 99393 ti = "17/102361/99393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102361/99393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102361 ÷ 217
    102361 ÷ 131072     		x = 0.780952453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99393 ÷ 217
    99393 ÷ 131072     		y = 0.758308410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780952453613281 × 2 - 1) × π
    0.561904907226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.76527633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758308410644531 × 2 - 1) × π
    -0.516616821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.62299961043624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76527633} λ = 1.76527633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62299961043624))-π/2
    2×atan(0.197305969503873)-π/2
    2×0.194803808969865-π/2
    0.38960761793973-1.57079632675     		φ = -1.18118871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76527633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.142883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18118871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.677128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102361 KachelY 99393 1.76527633 -1.18118871 101.142883 -67.677128
    Oben rechts KachelX + 1 102362 KachelY 99393 1.76532427 -1.18118871 101.145630 -67.677128
    Unten links KachelX 102361 KachelY + 1 99394 1.76527633 -1.18120692 101.142883 -67.678171
    Unten rechts KachelX + 1 102362 KachelY + 1 99394 1.76532427 -1.18120692 101.145630 -67.678171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18118871--1.18120692) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18118871--1.18120692) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76527633-1.76532427) × cos(-1.18118871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379825467083364 × 6371000     		do = 116.008474354706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76527633-1.76532427) × cos(-1.18120692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379808621711146 × 6371000     		du = 116.003329344431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18118871)-sin(-1.18120692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379825467083364-0.379808621711146)×R²
    abs(1.76532427-1.76527633)×1.68453722177997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68453722177997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68453722177997e-05×40589641000000     		ar = 13458.5302686577m²