Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10236 / 6140
↖ ↑ ↗
← N 81.096615°
W123.771972°		 ← 94.53 m → N 81.096615°
W123.766479°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
N 81.095765°
W123.771972°		 ← 94.54 m →
8 938 m²		 N 81.095765°
W123.766479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156196594238281 y=0.0936965942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156196594238281 × 216)
    floor (0.156196594238281 × 65536)
    floor (10236.5)     		tx = 10236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936965942382812 × 216)
    floor (0.0936965942382812 × 65536)
    floor (6140.5)     		ty = 6140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10236 / 6140 ti = "16/10236/6140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10236/6140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10236 ÷ 216
    10236 ÷ 65536     		x = 0.15618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6140 ÷ 216
    6140 ÷ 65536     		y = 0.09368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.6876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16022844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09368896484375 × 2 - 1) × π
    0.8126220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55292752616571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16022844} λ = -2.16022844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55292752616571))-π/2
    2×atan(12.8446518487499)-π/2
    2×1.49309963692661-π/2
    2.98619927385322-1.57079632675     		φ = 1.41540295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16022844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.771972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41540295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.096615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10236 KachelY 6140 -2.16022844 1.41540295 -123.771972 81.096615
    Oben rechts KachelX + 1 10237 KachelY 6140 -2.16013257 1.41540295 -123.766479 81.096615
    Unten links KachelX 10236 KachelY + 1 6141 -2.16022844 1.41538811 -123.771972 81.095765
    Unten rechts KachelX + 1 10237 KachelY + 1 6141 -2.16013257 1.41538811 -123.766479 81.095765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41540295-1.41538811) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41540295-1.41538811) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16022844--2.16013257) × cos(1.41540295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154768748145619 × 6371000     		do = 94.5308585455521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16022844--2.16013257) × cos(1.41538811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154783409317332 × 6371000     		du = 94.5398134099284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41540295)-sin(1.41538811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154768748145619-0.154783409317332)×R²
    abs(-2.16013257--2.16022844)×1.46611717131706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46611717131706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46611717131706e-05×40589641000000     		ar = 8937.90384303317m²