Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10236 / 2476
↖ ↑ ↗
← N 77.254479°
E 44.912109°		 ← 539.04 m → N 77.254479°
E 44.934082°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
N 77.249630°
E 44.912109°		 ← 539.24 m →
290 692 m²		 N 77.249630°
E 44.934082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624786376953125 y=0.151153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624786376953125 × 214)
    floor (0.624786376953125 × 16384)
    floor (10236.5)     		tx = 10236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151153564453125 × 214)
    floor (0.151153564453125 × 16384)
    floor (2476.5)     		ty = 2476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10236 / 2476 ti = "14/10236/2476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10236/2476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10236 ÷ 214
    10236 ÷ 16384     		x = 0.624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2476 ÷ 214
    2476 ÷ 16384     		y = 0.151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151123046875 × 2 - 1) × π
    0.69775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19205854582593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78386418} λ = 0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19205854582593))-π/2
    2×atan(8.95362560533558)-π/2
    2×1.45957067102389-π/2
    2.91914134204779-1.57079632675     		φ = 1.34834502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34834502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.254479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10236 KachelY 2476 0.78386418 1.34834502 44.912109 77.254479
    Oben rechts KachelX + 1 10237 KachelY 2476 0.78424768 1.34834502 44.934082 77.254479
    Unten links KachelX 10236 KachelY + 1 2477 0.78386418 1.34826039 44.912109 77.249630
    Unten rechts KachelX + 1 10237 KachelY + 1 2477 0.78424768 1.34826039 44.934082 77.249630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34834502-1.34826039) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dl = 539.177729999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34834502-1.34826039) × R
    8.46299999999189e-05 × 6371000     		dr = 539.177729999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78386418-0.78424768) × cos(1.34834502) × R
    0.000383499999999981 × 0.220621189073553 × 6371000     		do = 539.039007907821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78386418-0.78424768) × cos(1.34826039) × R
    0.000383499999999981 × 0.220703732963799 × 6371000     		du = 539.240685620166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34834502)-sin(1.34826039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220621189073553-0.220703732963799)×R²
    abs(0.78424768-0.78386418)×8.25438902460063e-05×R²
    0.000383499999999981×8.25438902460063e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.25438902460063e-05×40589641000000     		ar = 290692.19890361m²