Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102355 / 99402
↖ ↑ ↗
← S 67.686515°
E101.126404°		 ← 115.94 m → S 67.686515°
E101.129150°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
S 67.687557°
E101.126404°		 ← 115.93 m →
13 436 m²		 S 67.687557°
E101.129150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780910491943359 y=0.758380889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780910491943359 × 217)
    floor (0.780910491943359 × 131072)
    floor (102355.5)     		tx = 102355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758380889892578 × 217)
    floor (0.758380889892578 × 131072)
    floor (99402.5)     		ty = 99402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102355 / 99402 ti = "17/102355/99402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102355/99402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102355 ÷ 217
    102355 ÷ 131072     		x = 0.780906677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99402 ÷ 217
    99402 ÷ 131072     		y = 0.758377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780906677246094 × 2 - 1) × π
    0.561813354492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.76498871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758377075195312 × 2 - 1) × π
    -0.516754150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62343104253282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76498871} λ = 1.76498871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62343104253282))-π/2
    2×atan(0.197220863735782)-π/2
    2×0.194721890869039-π/2
    0.389443781738078-1.57079632675     		φ = -1.18135255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76498871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.126404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18135255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.686515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102355 KachelY 99402 1.76498871 -1.18135255 101.126404 -67.686515
    Oben rechts KachelX + 1 102356 KachelY 99402 1.76503664 -1.18135255 101.129150 -67.686515
    Unten links KachelX 102355 KachelY + 1 99403 1.76498871 -1.18137074 101.126404 -67.687557
    Unten rechts KachelX + 1 102356 KachelY + 1 99403 1.76503664 -1.18137074 101.129150 -67.687557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18135255--1.18137074) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18135255--1.18137074) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76498871-1.76503664) × cos(-1.18135255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379673900455833 × 6371000     		do = 115.937992981282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76498871-1.76503664) × cos(-1.18137074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379657072453193 × 6371000     		du = 115.932854348235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18135255)-sin(-1.18137074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379673900455833-0.379657072453193)×R²
    abs(1.76503664-1.76498871)×1.68280026400791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68280026400791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68280026400791e-05×40589641000000     		ar = 13435.5811864395m²