Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102354 / 99665
↖ ↑ ↗
← S 67.959178°
E101.123657°		 ← 114.62 m → S 67.959178°
E101.126404°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.960209°
E101.123657°		 ← 114.61 m →
13 136 m²		 S 67.960209°
E101.126404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780902862548828 y=0.760387420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780902862548828 × 217)
    floor (0.780902862548828 × 131072)
    floor (102354.5)     		tx = 102354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760387420654297 × 217)
    floor (0.760387420654297 × 131072)
    floor (99665.5)     		ty = 99665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102354 / 99665 ti = "17/102354/99665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102354/99665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102354 ÷ 217
    102354 ÷ 131072     		x = 0.780899047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99665 ÷ 217
    99665 ÷ 131072     		y = 0.760383605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780899047851562 × 2 - 1) × π
    0.561798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76494077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760383605957031 × 2 - 1) × π
    -0.520767211914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.6360384471329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76494077} λ = 1.76494077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6360384471329))-π/2
    2×atan(0.194750028647412)-π/2
    2×0.192342451770111-π/2
    0.384684903540222-1.57079632675     		φ = -1.18611142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76494077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.123657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18611142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.959178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102354 KachelY 99665 1.76494077 -1.18611142 101.123657 -67.959178
    Oben rechts KachelX + 1 102355 KachelY 99665 1.76498871 -1.18611142 101.126404 -67.959178
    Unten links KachelX 102354 KachelY + 1 99666 1.76494077 -1.18612941 101.123657 -67.960209
    Unten rechts KachelX + 1 102355 KachelY + 1 99666 1.76498871 -1.18612941 101.126404 -67.960209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18611142--1.18612941) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dl = 114.614289999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18611142--1.18612941) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dr = 114.614289999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76494077-1.76498871) × cos(-1.18611142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375267090220242 × 6371000     		do = 114.616228728089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76494077-1.76498871) × cos(-1.18612941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375250414927674 × 6371000     		du = 114.611135664517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18611142)-sin(-1.18612941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375267090220242-0.375250414927674)×R²
    abs(1.76498871-1.76494077)×1.66752925678249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66752925678249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66752925678249e-05×40589641000000     		ar = 13136.3658094784m²