Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102353 / 99664
↖ ↑ ↗
← S 67.958148°
E101.120910°		 ← 114.62 m → S 67.958148°
E101.123657°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.959178°
E101.120910°		 ← 114.62 m →
13 137 m²		 S 67.959178°
E101.123657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780895233154297 y=0.760379791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780895233154297 × 217)
    floor (0.780895233154297 × 131072)
    floor (102353.5)     		tx = 102353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760379791259766 × 217)
    floor (0.760379791259766 × 131072)
    floor (99664.5)     		ty = 99664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102353 / 99664 ti = "17/102353/99664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102353/99664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102353 ÷ 217
    102353 ÷ 131072     		x = 0.780891418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99664 ÷ 217
    99664 ÷ 131072     		y = 0.7603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780891418457031 × 2 - 1) × π
    0.561782836914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.76489283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63599051023328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76489283} λ = 1.76489283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63599051023328))-π/2
    2×atan(0.194759364583753)-π/2
    2×0.192351446540289-π/2
    0.384702893080578-1.57079632675     		φ = -1.18609343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76489283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.120910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18609343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.958148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102353 KachelY 99664 1.76489283 -1.18609343 101.120910 -67.958148
    Oben rechts KachelX + 1 102354 KachelY 99664 1.76494077 -1.18609343 101.123657 -67.958148
    Unten links KachelX 102353 KachelY + 1 99665 1.76489283 -1.18611142 101.120910 -67.959178
    Unten rechts KachelX + 1 102354 KachelY + 1 99665 1.76494077 -1.18611142 101.123657 -67.959178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18609343--1.18611142) × R
    1.79900000001343e-05 × 6371000     		dl = 114.614290000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18609343--1.18611142) × R
    1.79900000001343e-05 × 6371000     		dr = 114.614290000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76489283-1.76494077) × cos(-1.18609343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375283765391359 × 6371000     		do = 114.621321754567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76489283-1.76494077) × cos(-1.18611142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375267090220242 × 6371000     		du = 114.616228728089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18609343)-sin(-1.18611142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375283765391359-0.375267090220242)×R²
    abs(1.76494077-1.76489283)×1.66751711165869e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66751711165869e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66751711165869e-05×40589641000000     		ar = 13136.9495453317m²