Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102352 / 96336
↖ ↑ ↗
← S 64.263684°
E101.118164°		 ← 132.60 m → S 64.263684°
E101.120910°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.264877°
E101.118164°		 ← 132.59 m →
17 588 m²		 S 64.264877°
E101.120910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780887603759766 y=0.734989166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780887603759766 × 217)
    floor (0.780887603759766 × 131072)
    floor (102352.5)     		tx = 102352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734989166259766 × 217)
    floor (0.734989166259766 × 131072)
    floor (96336.5)     		ty = 96336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102352 / 96336 ti = "17/102352/96336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102352/96336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102352 ÷ 217
    102352 ÷ 131072     		x = 0.7808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96336 ÷ 217
    96336 ÷ 131072     		y = 0.7349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7808837890625 × 2 - 1) × π
    0.561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76484490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76484490} λ = 1.76484490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47645650829773))-π/2
    2×atan(0.228445751480638)-π/2
    2×0.224591728043391-π/2
    0.449183456086783-1.57079632675     		φ = -1.12161287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76484490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12161287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.263684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102352 KachelY 96336 1.76484490 -1.12161287 101.118164 -64.263684
    Oben rechts KachelX + 1 102353 KachelY 96336 1.76489283 -1.12161287 101.120910 -64.263684
    Unten links KachelX 102352 KachelY + 1 96337 1.76484490 -1.12163369 101.118164 -64.264877
    Unten rechts KachelX + 1 102353 KachelY + 1 96337 1.76489283 -1.12163369 101.120910 -64.264877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12161287--1.12163369) × R
    2.08199999998104e-05 × 6371000     		dl = 132.644219998792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12161287--1.12163369) × R
    2.08199999998104e-05 × 6371000     		dr = 132.644219998792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76484490-1.76489283) × cos(-1.12161287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434230135224891 × 6371000     		do = 132.597395579528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76484490-1.76489283) × cos(-1.12163369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434211380433758 × 6371000     		du = 132.591668578436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12161287)-sin(-1.12163369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434230135224891-0.434211380433758)×R²
    abs(1.76489283-1.76484490)×1.87547911331132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87547911331132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87547911331132e-05×40589641000000     		ar = 17587.898284304m²