Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102351 / 98570
↖ ↑ ↗
← S 66.802731°
E101.115418°		 ← 120.31 m → S 66.802731°
E101.118164°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
S 66.803812°
E101.115418°		 ← 120.30 m →
14 471 m²		 S 66.803812°
E101.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780879974365234 y=0.752033233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780879974365234 × 217)
    floor (0.780879974365234 × 131072)
    floor (102351.5)     		tx = 102351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752033233642578 × 217)
    floor (0.752033233642578 × 131072)
    floor (98570.5)     		ty = 98570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102351 / 98570 ti = "17/102351/98570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102351/98570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102351 ÷ 217
    102351 ÷ 131072     		x = 0.780876159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98570 ÷ 217
    98570 ÷ 131072     		y = 0.752029418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780876159667969 × 2 - 1) × π
    0.561752319335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.76479696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752029418945312 × 2 - 1) × π
    -0.504058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58354754204893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76479696} λ = 1.76479696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58354754204893))-π/2
    2×atan(0.205245687455593)-π/2
    2×0.202434364332197-π/2
    0.404868728664395-1.57079632675     		φ = -1.16592760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76479696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.115418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16592760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.802731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102351 KachelY 98570 1.76479696 -1.16592760 101.115418 -66.802731
    Oben rechts KachelX + 1 102352 KachelY 98570 1.76484490 -1.16592760 101.118164 -66.802731
    Unten links KachelX 102351 KachelY + 1 98571 1.76479696 -1.16594648 101.115418 -66.803812
    Unten rechts KachelX + 1 102352 KachelY + 1 98571 1.76484490 -1.16594648 101.118164 -66.803812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16592760--1.16594648) × R
    1.88799999998324e-05 × 6371000     		dl = 120.284479998932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16592760--1.16594648) × R
    1.88799999998324e-05 × 6371000     		dr = 120.284479998932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76479696-1.76484490) × cos(-1.16592760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393898103458638 × 6371000     		do = 120.306619733372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76479696-1.76484490) × cos(-1.16594648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393880749758776 × 6371000     		du = 120.30131946675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16592760)-sin(-1.16594648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393898103458638-0.393880749758776)×R²
    abs(1.76484490-1.76479696)×1.73536998622215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73536998622215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73536998622215e-05×40589641000000     		ar = 14470.7004254456m²