Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102350 / 98446
↖ ↑ ↗
← S 66.668211°
E101.112671°		 ← 120.97 m → S 66.668211°
E101.115418°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.669299°
E101.112671°		 ← 120.96 m →
14 635 m²		 S 66.669299°
E101.115418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780872344970703 y=0.751087188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780872344970703 × 217)
    floor (0.780872344970703 × 131072)
    floor (102350.5)     		tx = 102350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751087188720703 × 217)
    floor (0.751087188720703 × 131072)
    floor (98446.5)     		ty = 98446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102350 / 98446 ti = "17/102350/98446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102350/98446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102350 ÷ 217
    102350 ÷ 131072     		x = 0.780868530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98446 ÷ 217
    98446 ÷ 131072     		y = 0.751083374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780868530273438 × 2 - 1) × π
    0.561737060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76474902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751083374023438 × 2 - 1) × π
    -0.502166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57760336649605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76474902} λ = 1.76474902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57760336649605))-π/2
    2×atan(0.206469337044332)-π/2
    2×0.203608266956578-π/2
    0.407216533913155-1.57079632675     		φ = -1.16357979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76474902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.112671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16357979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.668211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102350 KachelY 98446 1.76474902 -1.16357979 101.112671 -66.668211
    Oben rechts KachelX + 1 102351 KachelY 98446 1.76479696 -1.16357979 101.115418 -66.668211
    Unten links KachelX 102350 KachelY + 1 98447 1.76474902 -1.16359878 101.112671 -66.669299
    Unten rechts KachelX + 1 102351 KachelY + 1 98447 1.76479696 -1.16359878 101.115418 -66.669299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16357979--1.16359878) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16357979--1.16359878) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76474902-1.76479696) × cos(-1.16357979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396055015070562 × 6371000     		do = 120.965396058558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76474902-1.76479696) × cos(-1.16359878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396037577872541 × 6371000     		du = 120.960070289449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16357979)-sin(-1.16359878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396055015070562-0.396037577872541)×R²
    abs(1.76479696-1.76474902)×1.7437198021053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7437198021053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7437198021053e-05×40589641000000     		ar = 14634.7113526936m²