Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102346 / 99383
↖ ↑ ↗
← S 67.666693°
E101.101685°		 ← 116.04 m → S 67.666693°
E101.104431°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.667737°
E101.101685°		 ← 116.03 m →
13 469 m²		 S 67.667737°
E101.104431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780841827392578 y=0.758235931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780841827392578 × 217)
    floor (0.780841827392578 × 131072)
    floor (102346.5)     		tx = 102346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758235931396484 × 217)
    floor (0.758235931396484 × 131072)
    floor (99383.5)     		ty = 99383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102346 / 99383 ti = "17/102346/99383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102346/99383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102346 ÷ 217
    102346 ÷ 131072     		x = 0.780838012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99383 ÷ 217
    99383 ÷ 131072     		y = 0.758232116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780838012695312 × 2 - 1) × π
    0.561676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76455728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758232116699219 × 2 - 1) × π
    -0.516464233398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62252024144004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76455728} λ = 1.76455728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62252024144004))-π/2
    2×atan(0.197400574541968)-π/2
    2×0.194894867434241-π/2
    0.389789734868482-1.57079632675     		φ = -1.18100659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76455728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.101685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18100659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.666693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102346 KachelY 99383 1.76455728 -1.18100659 101.101685 -67.666693
    Oben rechts KachelX + 1 102347 KachelY 99383 1.76460521 -1.18100659 101.104431 -67.666693
    Unten links KachelX 102346 KachelY + 1 99384 1.76455728 -1.18102481 101.101685 -67.667737
    Unten rechts KachelX + 1 102347 KachelY + 1 99384 1.76460521 -1.18102481 101.104431 -67.667737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18100659--1.18102481) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18100659--1.18102481) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76455728-1.76460521) × cos(-1.18100659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379993932377058 × 6371000     		do = 116.035718578412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76455728-1.76460521) × cos(-1.18102481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379977079014787 × 6371000     		du = 116.030572201497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18100659)-sin(-1.18102481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379993932377058-0.379977079014787)×R²
    abs(1.76460521-1.76455728)×1.68533622703637e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68533622703637e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68533622703637e-05×40589641000000     		ar = 13469.0834245043m²