Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102346 / 99382
↖ ↑ ↗
← S 67.665650°
E101.101685°		 ← 116.04 m → S 67.665650°
E101.104431°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
S 67.666693°
E101.101685°		 ← 116.04 m →
13 462 m²		 S 67.666693°
E101.104431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780841827392578 y=0.758228302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780841827392578 × 217)
    floor (0.780841827392578 × 131072)
    floor (102346.5)     		tx = 102346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758228302001953 × 217)
    floor (0.758228302001953 × 131072)
    floor (99382.5)     		ty = 99382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102346 / 99382 ti = "17/102346/99382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102346/99382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102346 ÷ 217
    102346 ÷ 131072     		x = 0.780838012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99382 ÷ 217
    99382 ÷ 131072     		y = 0.758224487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780838012695312 × 2 - 1) × π
    0.561676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76455728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758224487304688 × 2 - 1) × π
    -0.516448974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62247230454042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76455728} λ = 1.76455728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62247230454042))-π/2
    2×atan(0.197410037540306)-π/2
    2×0.194903975501624-π/2
    0.389807951003247-1.57079632675     		φ = -1.18098838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76455728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.101685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18098838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.665650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102346 KachelY 99382 1.76455728 -1.18098838 101.101685 -67.665650
    Oben rechts KachelX + 1 102347 KachelY 99382 1.76460521 -1.18098838 101.104431 -67.665650
    Unten links KachelX 102346 KachelY + 1 99383 1.76455728 -1.18100659 101.101685 -67.666693
    Unten rechts KachelX + 1 102347 KachelY + 1 99383 1.76460521 -1.18100659 101.104431 -67.666693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18098838--1.18100659) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18098838--1.18100659) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76455728-1.76460521) × cos(-1.18098838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380010776363361 × 6371000     		do = 116.040862092263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76455728-1.76460521) × cos(-1.18100659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379993932377058 × 6371000     		du = 116.035718578412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18098838)-sin(-1.18100659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380010776363361-0.379993932377058)×R²
    abs(1.76460521-1.76455728)×1.68439863036385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68439863036385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68439863036385e-05×40589641000000     		ar = 13462.2878484559m²