Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102346 / 96490
↖ ↑ ↗
← S 64.446742°
E101.101685°		 ← 131.72 m → S 64.446742°
E101.104431°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
S 64.447927°
E101.101685°		 ← 131.71 m →
17 354 m²		 S 64.447927°
E101.104431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780841827392578 y=0.736164093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780841827392578 × 217)
    floor (0.780841827392578 × 131072)
    floor (102346.5)     		tx = 102346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736164093017578 × 217)
    floor (0.736164093017578 × 131072)
    floor (96490.5)     		ty = 96490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102346 / 96490 ti = "17/102346/96490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102346/96490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102346 ÷ 217
    102346 ÷ 131072     		x = 0.780838012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96490 ÷ 217
    96490 ÷ 131072     		y = 0.736160278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780838012695312 × 2 - 1) × π
    0.561676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76455728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736160278320312 × 2 - 1) × π
    -0.472320556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48383879083922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76455728} λ = 1.76455728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48383879083922))-π/2
    2×atan(0.226765510037165)-π/2
    2×0.222994243506873-π/2
    0.445988487013745-1.57079632675     		φ = -1.12480784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76455728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.101685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12480784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.446742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102346 KachelY 96490 1.76455728 -1.12480784 101.101685 -64.446742
    Oben rechts KachelX + 1 102347 KachelY 96490 1.76460521 -1.12480784 101.104431 -64.446742
    Unten links KachelX 102346 KachelY + 1 96491 1.76455728 -1.12482852 101.101685 -64.447927
    Unten rechts KachelX + 1 102347 KachelY + 1 96491 1.76460521 -1.12482852 101.104431 -64.447927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12480784--1.12482852) × R
    2.06800000002172e-05 × 6371000     		dl = 131.752280001384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12480784--1.12482852) × R
    2.06800000002172e-05 × 6371000     		dr = 131.752280001384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76455728-1.76460521) × cos(-1.12480784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431349888577785 × 6371000     		do = 131.717877616467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76455728-1.76460521) × cos(-1.12482852) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431331231305487 × 6371000     		du = 131.712180393924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12480784)-sin(-1.12482852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431349888577785-0.431331231305487)×R²
    abs(1.76460521-1.76455728)×1.86572722975509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86572722975509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86572722975509e-05×40589641000000     		ar = 17353.7553824461m²