Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102344 / 96168
↖ ↑ ↗
← S 64.062590°
E101.096191°		 ← 133.59 m → S 64.062590°
E101.098938°		 →
↑
133.60 m
↓
↑
133.60 m
↓
S 64.063792°
E101.096191°		 ← 133.58 m →
17 847 m²		 S 64.063792°
E101.098938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780826568603516 y=0.733707427978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780826568603516 × 217)
    floor (0.780826568603516 × 131072)
    floor (102344.5)     		tx = 102344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733707427978516 × 217)
    floor (0.733707427978516 × 131072)
    floor (96168.5)     		ty = 96168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102344 / 96168 ti = "17/102344/96168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102344/96168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102344 ÷ 217
    102344 ÷ 131072     		x = 0.78082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96168 ÷ 217
    96168 ÷ 131072     		y = 0.73370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78082275390625 × 2 - 1) × π
    0.5616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76446140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73370361328125 × 2 - 1) × π
    -0.4674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46840310916156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76446140} λ = 1.76446140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46840310916156))-π/2
    2×atan(0.230292944405585)-π/2
    2×0.226346596421198-π/2
    0.452693192842396-1.57079632675     		φ = -1.11810313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76446140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.096191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11810313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.062590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102344 KachelY 96168 1.76446140 -1.11810313 101.096191 -64.062590
    Oben rechts KachelX + 1 102345 KachelY 96168 1.76450934 -1.11810313 101.098938 -64.062590
    Unten links KachelX 102344 KachelY + 1 96169 1.76446140 -1.11812410 101.096191 -64.063792
    Unten rechts KachelX + 1 102345 KachelY + 1 96169 1.76450934 -1.11812410 101.098938 -64.063792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11810313--1.11812410) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dl = 133.599870000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11810313--1.11812410) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dr = 133.599870000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76446140-1.76450934) × cos(-1.11810313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437389034960865 × 6371000     		do = 133.58986967072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76446140-1.76450934) × cos(-1.11812410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437370177122671 × 6371000     		du = 133.584110001535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11810313)-sin(-1.11812410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437389034960865-0.437370177122671)×R²
    abs(1.76450934-1.76446140)×1.88578381937754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88578381937754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88578381937754e-05×40589641000000     		ar = 17847.2044765979m²