Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102342 / 99669
↖ ↑ ↗
← S 67.963301°
E101.090698°		 ← 114.57 m → S 67.963301°
E101.093445°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.964332°
E101.090698°		 ← 114.57 m →
13 131 m²		 S 67.964332°
E101.093445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780811309814453 y=0.760417938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780811309814453 × 217)
    floor (0.780811309814453 × 131072)
    floor (102342.5)     		tx = 102342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760417938232422 × 217)
    floor (0.760417938232422 × 131072)
    floor (99669.5)     		ty = 99669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102342 / 99669 ti = "17/102342/99669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102342/99669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102342 ÷ 217
    102342 ÷ 131072     		x = 0.780807495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99669 ÷ 217
    99669 ÷ 131072     		y = 0.760414123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780807495117188 × 2 - 1) × π
    0.561614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76436553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760414123535156 × 2 - 1) × π
    -0.520828247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63623019473138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76436553} λ = 1.76436553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63623019473138))-π/2
    2×atan(0.194712689377087)-π/2
    2×0.192306476685856-π/2
    0.384612953371711-1.57079632675     		φ = -1.18618337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76436553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.090698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18618337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.963301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102342 KachelY 99669 1.76436553 -1.18618337 101.090698 -67.963301
    Oben rechts KachelX + 1 102343 KachelY 99669 1.76441346 -1.18618337 101.093445 -67.963301
    Unten links KachelX 102342 KachelY + 1 99670 1.76436553 -1.18620136 101.090698 -67.964332
    Unten rechts KachelX + 1 102343 KachelY + 1 99670 1.76441346 -1.18620136 101.093445 -67.964332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18618337--1.18620136) × R
    1.79900000001343e-05 × 6371000     		dl = 114.614290000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18618337--1.18620136) × R
    1.79900000001343e-05 × 6371000     		dr = 114.614290000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76436553-1.76441346) × cos(-1.18618337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375200397590753 × 6371000     		do = 114.57195506519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76436553-1.76441346) × cos(-1.18620136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3751837218125 × 6371000     		du = 114.566862915691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18618337)-sin(-1.18620136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375200397590753-0.3751837218125)×R²
    abs(1.76441346-1.76436553)×1.6675778252484e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6675778252484e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6675778252484e-05×40589641000000     		ar = 13131.2914675648m²