Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102342 / 99667
↖ ↑ ↗
← S 67.961240°
E101.090698°		 ← 114.58 m → S 67.961240°
E101.093445°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.962271°
E101.090698°		 ← 114.58 m →
13 132 m²		 S 67.962271°
E101.093445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780811309814453 y=0.760402679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780811309814453 × 217)
    floor (0.780811309814453 × 131072)
    floor (102342.5)     		tx = 102342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760402679443359 × 217)
    floor (0.760402679443359 × 131072)
    floor (99667.5)     		ty = 99667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102342 / 99667 ti = "17/102342/99667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102342/99667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102342 ÷ 217
    102342 ÷ 131072     		x = 0.780807495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99667 ÷ 217
    99667 ÷ 131072     		y = 0.760398864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780807495117188 × 2 - 1) × π
    0.561614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76436553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760398864746094 × 2 - 1) × π
    -0.520797729492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63613432093214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76436553} λ = 1.76436553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63613432093214))-π/2
    2×atan(0.194731358117285)-π/2
    2×0.192324463428722-π/2
    0.384648926857444-1.57079632675     		φ = -1.18614740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76436553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.090698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18614740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.961240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102342 KachelY 99667 1.76436553 -1.18614740 101.090698 -67.961240
    Oben rechts KachelX + 1 102343 KachelY 99667 1.76441346 -1.18614740 101.093445 -67.961240
    Unten links KachelX 102342 KachelY + 1 99668 1.76436553 -1.18616539 101.090698 -67.962271
    Unten rechts KachelX + 1 102343 KachelY + 1 99668 1.76441346 -1.18616539 101.093445 -67.962271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18614740--1.18616539) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dl = 114.614289999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18614740--1.18616539) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dr = 114.614289999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76436553-1.76441346) × cos(-1.18614740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37523373951366 × 6371000     		do = 114.582136422453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76436553-1.76441346) × cos(-1.18616539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375217063978206 × 6371000     		du = 114.577044347095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18614740)-sin(-1.18616539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37523373951366-0.375217063978206)×R²
    abs(1.76441346-1.76436553)×1.66755354546466e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66755354546466e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66755354546466e-05×40589641000000     		ar = 13132.4584007018m²