Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102341 / 99398
↖ ↑ ↗
← S 67.682344°
E101.087952°		 ← 115.98 m → S 67.682344°
E101.090698°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.683386°
E101.087952°		 ← 115.98 m →
13 448 m²		 S 67.683386°
E101.090698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780803680419922 y=0.758350372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780803680419922 × 217)
    floor (0.780803680419922 × 131072)
    floor (102341.5)     		tx = 102341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758350372314453 × 217)
    floor (0.758350372314453 × 131072)
    floor (99398.5)     		ty = 99398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102341 / 99398 ti = "17/102341/99398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102341/99398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102341 ÷ 217
    102341 ÷ 131072     		x = 0.780799865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99398 ÷ 217
    99398 ÷ 131072     		y = 0.758346557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780799865722656 × 2 - 1) × π
    0.561599731445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.76431759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758346557617188 × 2 - 1) × π
    -0.516693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62323929493434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76431759} λ = 1.76431759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62323929493434))-π/2
    2×atan(0.197258683988629)-π/2
    2×0.194758294877506-π/2
    0.389516589755011-1.57079632675     		φ = -1.18127974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76431759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.087952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18127974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.682344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102341 KachelY 99398 1.76431759 -1.18127974 101.087952 -67.682344
    Oben rechts KachelX + 1 102342 KachelY 99398 1.76436553 -1.18127974 101.090698 -67.682344
    Unten links KachelX 102341 KachelY + 1 99399 1.76431759 -1.18129794 101.087952 -67.683386
    Unten rechts KachelX + 1 102342 KachelY + 1 99399 1.76436553 -1.18129794 101.090698 -67.683386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18127974--1.18129794) × R
    1.82000000001903e-05 × 6371000     		dl = 115.952200001212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18127974--1.18129794) × R
    1.82000000001903e-05 × 6371000     		dr = 115.952200001212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76431759-1.76436553) × cos(-1.18127974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379741257464724 × 6371000     		do = 115.982754569618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76431759-1.76436553) × cos(-1.18129794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379724420713967 × 6371000     		du = 115.977612192559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18127974)-sin(-1.18129794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379741257464724-0.379724420713967)×R²
    abs(1.76436553-1.76431759)×1.68367507578093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68367507578093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68367507578093e-05×40589641000000     		ar = 13448.1574199847m²