Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102340 / 99668
↖ ↑ ↗
← S 67.962271°
E101.085205°		 ← 114.60 m → S 67.962271°
E101.087952°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 67.963301°
E101.085205°		 ← 114.60 m →
13 127 m²		 S 67.963301°
E101.087952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780796051025391 y=0.760410308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780796051025391 × 217)
    floor (0.780796051025391 × 131072)
    floor (102340.5)     		tx = 102340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760410308837891 × 217)
    floor (0.760410308837891 × 131072)
    floor (99668.5)     		ty = 99668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102340 / 99668 ti = "17/102340/99668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102340/99668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102340 ÷ 217
    102340 ÷ 131072     		x = 0.780792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99668 ÷ 217
    99668 ÷ 131072     		y = 0.760406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780792236328125 × 2 - 1) × π
    0.56158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76426965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.52081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63618225783176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76426965} λ = 1.76426965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63618225783176))-π/2
    2×atan(0.194722023523456)-π/2
    2×0.192315469857481-π/2
    0.384630939714962-1.57079632675     		φ = -1.18616539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76426965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.085205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18616539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.962271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102340 KachelY 99668 1.76426965 -1.18616539 101.085205 -67.962271
    Oben rechts KachelX + 1 102341 KachelY 99668 1.76431759 -1.18616539 101.087952 -67.962271
    Unten links KachelX 102340 KachelY + 1 99669 1.76426965 -1.18618337 101.085205 -67.963301
    Unten rechts KachelX + 1 102341 KachelY + 1 99669 1.76431759 -1.18618337 101.087952 -67.963301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18616539--1.18618337) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18616539--1.18618337) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76426965-1.76431759) × cos(-1.18616539) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375217063978206 × 6371000     		do = 114.600949426626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76426965-1.76431759) × cos(-1.18618337) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375200397590753 × 6371000     		du = 114.595859082906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18616539)-sin(-1.18618337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375217063978206-0.375200397590753)×R²
    abs(1.76431759-1.76426965)×1.66663874527351e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66663874527351e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66663874527351e-05×40589641000000     		ar = 13127.3136748271m²