Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102339 / 99661
↖ ↑ ↗
← S 67.955055°
E101.082459°		 ← 114.61 m → S 67.955055°
E101.085205°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.956086°
E101.082459°		 ← 114.61 m →
13 136 m²		 S 67.956086°
E101.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780788421630859 y=0.760356903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780788421630859 × 217)
    floor (0.780788421630859 × 131072)
    floor (102339.5)     		tx = 102339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760356903076172 × 217)
    floor (0.760356903076172 × 131072)
    floor (99661.5)     		ty = 99661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102339 / 99661 ti = "17/102339/99661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102339/99661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102339 ÷ 217
    102339 ÷ 131072     		x = 0.780784606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99661 ÷ 217
    99661 ÷ 131072     		y = 0.760353088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780784606933594 × 2 - 1) × π
    0.561569213867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.76422172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760353088378906 × 2 - 1) × π
    -0.520706176757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63584669953442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76422172} λ = 1.76422172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63584669953442))-π/2
    2×atan(0.194787375078139)-π/2
    2×0.192378433248932-π/2
    0.384756866497865-1.57079632675     		φ = -1.18603946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76422172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.082459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18603946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.955055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102339 KachelY 99661 1.76422172 -1.18603946 101.082459 -67.955055
    Oben rechts KachelX + 1 102340 KachelY 99661 1.76426965 -1.18603946 101.085205 -67.955055
    Unten links KachelX 102339 KachelY + 1 99662 1.76422172 -1.18605745 101.082459 -67.956086
    Unten rechts KachelX + 1 102340 KachelY + 1 99662 1.76426965 -1.18605745 101.085205 -67.956086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18603946--1.18605745) × R
    1.79900000001343e-05 × 6371000     		dl = 114.614290000856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18603946--1.18605745) × R
    1.79900000001343e-05 × 6371000     		dr = 114.614290000856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76422172-1.76426965) × cos(-1.18603946) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.375333790175945 × 6371000     		do = 114.61268809526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76422172-1.76426965) × cos(-1.18605745) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.375317115369216 × 6371000     		du = 114.607596242427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18603946)-sin(-1.18605745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375333790175945-0.375317115369216)×R²
    abs(1.76426965-1.76422172)×1.66748067297884e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.66748067297884e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.66748067297884e-05×40589641000000     		ar = 13135.960072002m²