Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102337 / 99397
S 67.681300°
E101.076965°
← 115.99 m → S 67.681300°
E101.079712°

116.02 m

116.02 m
S 67.682344°
E101.076965°
← 115.98 m →
13 456 m²
S 67.682344°
E101.079712°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780773162841797 y=0.758342742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780773162841797 × 217)
    floor (0.780773162841797 × 131072)
    floor (102337.5)
    tx = 102337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758342742919922 × 217)
    floor (0.758342742919922 × 131072)
    floor (99397.5)
    ty = 99397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102337 / 99397 ti = "17/102337/99397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102337/99397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102337 ÷ 217
    102337 ÷ 131072
    x = 0.780769348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99397 ÷ 217
    99397 ÷ 131072
    y = 0.758338928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.780769348144531 × 2 - 1) × π
    0.561538696289062 × 3.1415926535
    Λ = 1.76412584
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.758338928222656 × 2 - 1) × π
    -0.516677856445312 × 3.1415926535
    Φ = -1.62319135803472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76412584} λ = 1.76412584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62319135803472))-π/2
    2×atan(0.197268140185011)-π/2
    2×0.194767396888659-π/2
    0.389534793777318-1.57079632675
    φ = -1.18126153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76412584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.076965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18126153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.681300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102337 KachelY 99397 1.76412584 -1.18126153 101.076965 -67.681300
    Oben rechts KachelX + 1 102338 KachelY 99397 1.76417378 -1.18126153 101.079712 -67.681300
    Unten links KachelX 102337 KachelY + 1 99398 1.76412584 -1.18127974 101.076965 -67.682344
    Unten rechts KachelX + 1 102338 KachelY + 1 99398 1.76417378 -1.18127974 101.079712 -67.682344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.18126153--1.18127974) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000
    dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.18126153--1.18127974) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000
    dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.76412584-1.76417378) × cos(-1.18126153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379758103340555 × 6371000
    do = 115.987899733709m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.76412584-1.76417378) × cos(-1.18127974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379741257464724 × 6371000
    du = 115.982754569618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.18126153)-sin(-1.18127974))×
    abs(λ12)×abs(0.379758103340555-0.379741257464724)×
    abs(1.76417378-1.76412584)×1.68458758303403e-05×
    4.79399999999686e-05×1.68458758303403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68458758303403e-05×40589641000000
    ar = 13456.1432764419m²