Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102335 / 99399
↖ ↑ ↗
← S 67.683386°
E101.071472°		 ← 115.98 m → S 67.683386°
E101.074219°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.684429°
E101.071472°		 ← 115.97 m →
13 448 m²		 S 67.684429°
E101.074219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780757904052734 y=0.758358001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780757904052734 × 217)
    floor (0.780757904052734 × 131072)
    floor (102335.5)     		tx = 102335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758358001708984 × 217)
    floor (0.758358001708984 × 131072)
    floor (99399.5)     		ty = 99399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102335 / 99399 ti = "17/102335/99399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102335/99399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102335 ÷ 217
    102335 ÷ 131072     		x = 0.780754089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99399 ÷ 217
    99399 ÷ 131072     		y = 0.758354187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780754089355469 × 2 - 1) × π
    0.561508178710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.76402997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758354187011719 × 2 - 1) × π
    -0.516708374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.62328723183396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76402997} λ = 1.76402997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62328723183396))-π/2
    2×atan(0.197249228245537)-π/2
    2×0.194749193269982-π/2
    0.389498386539964-1.57079632675     		φ = -1.18129794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76402997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.071472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18129794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.683386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102335 KachelY 99399 1.76402997 -1.18129794 101.071472 -67.683386
    Oben rechts KachelX + 1 102336 KachelY 99399 1.76407791 -1.18129794 101.074219 -67.683386
    Unten links KachelX 102335 KachelY + 1 99400 1.76402997 -1.18131614 101.071472 -67.684429
    Unten rechts KachelX + 1 102336 KachelY + 1 99400 1.76407791 -1.18131614 101.074219 -67.684429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18129794--1.18131614) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18129794--1.18131614) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76402997-1.76407791) × cos(-1.18129794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379724420713967 × 6371000     		do = 115.977612192559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76402997-1.76407791) × cos(-1.18131614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.379707583837429 × 6371000     		du = 115.972469777083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18129794)-sin(-1.18131614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379724420713967-0.379707583837429)×R²
    abs(1.76407791-1.76402997)×1.68368765375293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68368765375293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68368765375293e-05×40589641000000     		ar = 13447.5611476391m²