Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102332 / 96190
↖ ↑ ↗
← S 64.089007°
E101.063233°		 ← 133.46 m → S 64.089007°
E101.065979°		 →
↑
133.47 m
↓
↑
133.47 m
↓
S 64.090208°
E101.063233°		 ← 133.46 m →
17 813 m²		 S 64.090208°
E101.065979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780735015869141 y=0.733875274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780735015869141 × 217)
    floor (0.780735015869141 × 131072)
    floor (102332.5)     		tx = 102332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733875274658203 × 217)
    floor (0.733875274658203 × 131072)
    floor (96190.5)     		ty = 96190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102332 / 96190 ti = "17/102332/96190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102332/96190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102332 ÷ 217
    102332 ÷ 131072     		x = 0.780731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96190 ÷ 217
    96190 ÷ 131072     		y = 0.733871459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780731201171875 × 2 - 1) × π
    0.56146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76388616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733871459960938 × 2 - 1) × π
    -0.467742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4694577209532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76388616} λ = 1.76388616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4694577209532))-π/2
    2×atan(0.230050202772476)-π/2
    2×0.226116067946296-π/2
    0.452232135892592-1.57079632675     		φ = -1.11856419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76388616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11856419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.089007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102332 KachelY 96190 1.76388616 -1.11856419 101.063233 -64.089007
    Oben rechts KachelX + 1 102333 KachelY 96190 1.76393410 -1.11856419 101.065979 -64.089007
    Unten links KachelX 102332 KachelY + 1 96191 1.76388616 -1.11858514 101.063233 -64.090208
    Unten rechts KachelX + 1 102333 KachelY + 1 96191 1.76393410 -1.11858514 101.065979 -64.090208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11856419--1.11858514) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dl = 133.472449999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11856419--1.11858514) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dr = 133.472449999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76388616-1.76393410) × cos(-1.11856419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436974369957971 × 6371000     		do = 133.463220305359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76388616-1.76393410) × cos(-1.11858514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436955525882671 × 6371000     		du = 133.457464839716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11856419)-sin(-1.11858514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436974369957971-0.436955525882671)×R²
    abs(1.76393410-1.76388616)×1.88440753001728e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88440753001728e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88440753001728e-05×40589641000000     		ar = 17813.2789014906m²