Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102328 / 96184
↖ ↑ ↗
← S 64.081805°
E101.052246°		 ← 133.50 m → S 64.081805°
E101.054993°		 →
↑
133.47 m
↓
↑
133.47 m
↓
S 64.083005°
E101.052246°		 ← 133.49 m →
17 818 m²		 S 64.083005°
E101.054993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780704498291016 y=0.733829498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780704498291016 × 217)
    floor (0.780704498291016 × 131072)
    floor (102328.5)     		tx = 102328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733829498291016 × 217)
    floor (0.733829498291016 × 131072)
    floor (96184.5)     		ty = 96184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102328 / 96184 ti = "17/102328/96184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102328/96184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102328 ÷ 217
    102328 ÷ 131072     		x = 0.78070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96184 ÷ 217
    96184 ÷ 131072     		y = 0.73382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78070068359375 × 2 - 1) × π
    0.5614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76369441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.4676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46917009955548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76369441} λ = 1.76369441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46917009955548))-π/2
    2×atan(0.23011637964983)-π/2
    2×0.226178917665052-π/2
    0.452357835330105-1.57079632675     		φ = -1.11843849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76369441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11843849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.081805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102328 KachelY 96184 1.76369441 -1.11843849 101.052246 -64.081805
    Oben rechts KachelX + 1 102329 KachelY 96184 1.76374235 -1.11843849 101.054993 -64.081805
    Unten links KachelX 102328 KachelY + 1 96185 1.76369441 -1.11845944 101.052246 -64.083005
    Unten rechts KachelX + 1 102329 KachelY + 1 96185 1.76374235 -1.11845944 101.054993 -64.083005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11843849--1.11845944) × R
    2.09500000001306e-05 × 6371000     		dl = 133.472450000832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11843849--1.11845944) × R
    2.09500000001306e-05 × 6371000     		dr = 133.472450000832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76369441-1.76374235) × cos(-1.11843849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437087430381911 × 6371000     		do = 133.497751869006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76369441-1.76374235) × cos(-1.11845944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43706858745747 × 6371000     		du = 133.491996754865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11843849)-sin(-1.11845944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437087430381911-0.43706858745747)×R²
    abs(1.76374235-1.76369441)×1.88429244414312e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88429244414312e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88429244414312e-05×40589641000000     		ar = 17817.8879376128m²