Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10232 / 6166
↖ ↑ ↗
← N 81.074484°
W123.793945°		 ← 94.76 m → N 81.074484°
W123.788452°		 →
↑
94.80 m
↓
↑
94.80 m
↓
N 81.073631°
W123.793945°		 ← 94.77 m →
8 984 m²		 N 81.073631°
W123.788452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156135559082031 y=0.0940933227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156135559082031 × 216)
    floor (0.156135559082031 × 65536)
    floor (10232.5)     		tx = 10232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0940933227539062 × 216)
    floor (0.0940933227539062 × 65536)
    floor (6166.5)     		ty = 6166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10232 / 6166 ti = "16/10232/6166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10232/6166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10232 ÷ 216
    10232 ÷ 65536     		x = 0.1561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6166 ÷ 216
    6166 ÷ 65536     		y = 0.094085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16061194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094085693359375 × 2 - 1) × π
    0.81182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55043480738547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16061194} λ = -2.16061194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55043480738547))-π/2
    2×atan(12.8126736167889)-π/2
    2×1.49290650172743-π/2
    2.98581300345486-1.57079632675     		φ = 1.41501668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16061194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41501668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.074484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10232 KachelY 6166 -2.16061194 1.41501668 -123.793945 81.074484
    Oben rechts KachelX + 1 10233 KachelY 6166 -2.16051607 1.41501668 -123.788452 81.074484
    Unten links KachelX 10232 KachelY + 1 6167 -2.16061194 1.41500180 -123.793945 81.073631
    Unten rechts KachelX + 1 10233 KachelY + 1 6167 -2.16051607 1.41500180 -123.788452 81.073631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41501668-1.41500180) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dl = 94.8004799996138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41501668-1.41500180) × R
    1.48799999999394e-05 × 6371000     		dr = 94.8004799996138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16061194--2.16051607) × cos(1.41501668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155150352316493 × 6371000     		do = 94.7639377061031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16061194--2.16051607) × cos(1.41500180) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15516505211544 × 6371000     		du = 94.7729161635215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41501668)-sin(1.41500180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155150352316493-0.15516505211544)×R²
    abs(-2.16051607--2.16061194)×1.46997989472486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46997989472486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46997989472486e-05×40589641000000     		ar = 8984.09236238063m²