Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102313 / 99639
↖ ↑ ↗
← S 67.932365°
E101.011048°		 ← 114.72 m → S 67.932365°
E101.013794°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.933396°
E101.011048°		 ← 114.72 m →
13 156 m²		 S 67.933396°
E101.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780590057373047 y=0.760189056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780590057373047 × 217)
    floor (0.780590057373047 × 131072)
    floor (102313.5)     		tx = 102313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760189056396484 × 217)
    floor (0.760189056396484 × 131072)
    floor (99639.5)     		ty = 99639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102313 / 99639 ti = "17/102313/99639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102313/99639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102313 ÷ 217
    102313 ÷ 131072     		x = 0.780586242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99639 ÷ 217
    99639 ÷ 131072     		y = 0.760185241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780586242675781 × 2 - 1) × π
    0.561172485351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.76297536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760185241699219 × 2 - 1) × π
    -0.520370483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.63479208774278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76297536} λ = 1.76297536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63479208774278))-π/2
    2×atan(0.194992908500695)-π/2
    2×0.192576445727781-π/2
    0.385152891455562-1.57079632675     		φ = -1.18564344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76297536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.011048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18564344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.932365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102313 KachelY 99639 1.76297536 -1.18564344 101.011048 -67.932365
    Oben rechts KachelX + 1 102314 KachelY 99639 1.76302329 -1.18564344 101.013794 -67.932365
    Unten links KachelX 102313 KachelY + 1 99640 1.76297536 -1.18566144 101.011048 -67.933396
    Unten rechts KachelX + 1 102314 KachelY + 1 99640 1.76302329 -1.18566144 101.013794 -67.933396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18564344--1.18566144) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18564344--1.18566144) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76297536-1.76302329) × cos(-1.18564344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375700827599606 × 6371000     		do = 114.724767388566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76297536-1.76302329) × cos(-1.18566144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375684146200675 × 6371000     		du = 114.719673522725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18564344)-sin(-1.18566144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375700827599606-0.375684146200675)×R²
    abs(1.76302329-1.76297536)×1.66813989312398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66813989312398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66813989312398e-05×40589641000000     		ar = 13156.1147977717m²