Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102312 / 99640
↖ ↑ ↗
← S 67.933396°
E101.008301°		 ← 114.74 m → S 67.933396°
E101.011048°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 67.934428°
E101.008301°		 ← 114.74 m →
13 166 m²		 S 67.934428°
E101.011048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780582427978516 y=0.760196685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780582427978516 × 217)
    floor (0.780582427978516 × 131072)
    floor (102312.5)     		tx = 102312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760196685791016 × 217)
    floor (0.760196685791016 × 131072)
    floor (99640.5)     		ty = 99640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102312 / 99640 ti = "17/102312/99640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102312/99640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102312 ÷ 217
    102312 ÷ 131072     		x = 0.78057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99640 ÷ 217
    99640 ÷ 131072     		y = 0.76019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78057861328125 × 2 - 1) × π
    0.5611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76292742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.5203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6348400246424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76292742} λ = 1.76292742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6348400246424))-π/2
    2×atan(0.194983561369252)-π/2
    2×0.192567440961268-π/2
    0.385134881922537-1.57079632675     		φ = -1.18566144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76292742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18566144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.933396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102312 KachelY 99640 1.76292742 -1.18566144 101.008301 -67.933396
    Oben rechts KachelX + 1 102313 KachelY 99640 1.76297536 -1.18566144 101.011048 -67.933396
    Unten links KachelX 102312 KachelY + 1 99641 1.76292742 -1.18567945 101.008301 -67.934428
    Unten rechts KachelX + 1 102313 KachelY + 1 99641 1.76297536 -1.18567945 101.011048 -67.934428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18566144--1.18567945) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18566144--1.18567945) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76292742-1.76297536) × cos(-1.18566144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375684146200675 × 6371000     		do = 114.743608359534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76292742-1.76297536) × cos(-1.18567945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375667455412477 × 6371000     		du = 114.738510563198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18566144)-sin(-1.18567945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375684146200675-0.375667455412477)×R²
    abs(1.76297536-1.76292742)×1.66907881981593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66907881981593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66907881981593e-05×40589641000000     		ar = 13165.5853702805m²