Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10231 / 6122
↖ ↑ ↗
← N 81.111905°
W123.799438°		 ← 94.37 m → N 81.111905°
W123.793945°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 81.111056°
W123.799438°		 ← 94.38 m →
8 911 m²		 N 81.111056°
W123.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156120300292969 y=0.0934219360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156120300292969 × 216)
    floor (0.156120300292969 × 65536)
    floor (10231.5)     		tx = 10231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0934219360351562 × 216)
    floor (0.0934219360351562 × 65536)
    floor (6122.5)     		ty = 6122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10231 / 6122 ti = "16/10231/6122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10231/6122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10231 ÷ 216
    10231 ÷ 65536     		x = 0.156112670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6122 ÷ 216
    6122 ÷ 65536     		y = 0.093414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156112670898438 × 2 - 1) × π
    -0.687774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16070781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093414306640625 × 2 - 1) × π
    0.81317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55465325455203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16070781} λ = -2.16070781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55465325455203))-π/2
    2×atan(12.8668373666407)-π/2
    2×1.49323306756095-π/2
    2.98646613512191-1.57079632675     		φ = 1.41566981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16070781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.799438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41566981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.111905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10231 KachelY 6122 -2.16070781 1.41566981 -123.799438 81.111905
    Oben rechts KachelX + 1 10232 KachelY 6122 -2.16061194 1.41566981 -123.793945 81.111905
    Unten links KachelX 10231 KachelY + 1 6123 -2.16070781 1.41565499 -123.799438 81.111056
    Unten rechts KachelX + 1 10232 KachelY + 1 6123 -2.16061194 1.41565499 -123.793945 81.111056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41566981-1.41565499) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41566981-1.41565499) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16070781--2.16061194) × cos(1.41566981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154505098107462 × 6371000     		do = 94.3698243266858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16070781--2.16061194) × cos(1.41565499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154519740131804 × 6371000     		du = 94.3787674960818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41566981)-sin(1.41565499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154505098107462-0.154519740131804)×R²
    abs(-2.16061194--2.16070781)×1.46420243418433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46420243418433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46420243418433e-05×40589641000000     		ar = 8910.65303379379m²