Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102309 / 98785
↖ ↑ ↗
← S 67.034234°
E101.000061°		 ← 119.17 m → S 67.034234°
E101.002808°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.035306°
E101.000061°		 ← 119.17 m →
14 205 m²		 S 67.035306°
E101.002808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780559539794922 y=0.753673553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780559539794922 × 217)
    floor (0.780559539794922 × 131072)
    floor (102309.5)     		tx = 102309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753673553466797 × 217)
    floor (0.753673553466797 × 131072)
    floor (98785.5)     		ty = 98785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102309 / 98785 ti = "17/102309/98785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102309/98785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102309 ÷ 217
    102309 ÷ 131072     		x = 0.780555725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98785 ÷ 217
    98785 ÷ 131072     		y = 0.753669738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780555725097656 × 2 - 1) × π
    0.561111450195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.76278361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753669738769531 × 2 - 1) × π
    -0.507339477539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59385397546725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76278361} λ = 1.76278361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59385397546725))-π/2
    2×atan(0.203141199952242)-π/2
    2×0.200414111808219-π/2
    0.400828223616438-1.57079632675     		φ = -1.16996810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76278361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.000061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16996810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.034234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102309 KachelY 98785 1.76278361 -1.16996810 101.000061 -67.034234
    Oben rechts KachelX + 1 102310 KachelY 98785 1.76283155 -1.16996810 101.002808 -67.034234
    Unten links KachelX 102309 KachelY + 1 98786 1.76278361 -1.16998681 101.000061 -67.035306
    Unten rechts KachelX + 1 102310 KachelY + 1 98786 1.76283155 -1.16998681 101.002808 -67.035306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16996810--1.16998681) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16996810--1.16998681) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76278361-1.76283155) × cos(-1.16996810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390181056053782 × 6371000     		do = 119.17133777913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76278361-1.76283155) × cos(-1.16998681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390163828974676 × 6371000     		du = 119.166076185746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16996810)-sin(-1.16998681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390181056053782-0.390163828974676)×R²
    abs(1.76283155-1.76278361)×1.72270791063966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72270791063966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72270791063966e-05×40589641000000     		ar = 14205.0779004941m²