Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102303 / 98783
↖ ↑ ↗
← S 67.032091°
E100.983582°		 ← 119.18 m → S 67.032091°
E100.986328°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.033163°
E100.983582°		 ← 119.18 m →
14 206 m²		 S 67.033163°
E100.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780513763427734 y=0.753658294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780513763427734 × 217)
    floor (0.780513763427734 × 131072)
    floor (102303.5)     		tx = 102303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753658294677734 × 217)
    floor (0.753658294677734 × 131072)
    floor (98783.5)     		ty = 98783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102303 / 98783 ti = "17/102303/98783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102303/98783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102303 ÷ 217
    102303 ÷ 131072     		x = 0.780509948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98783 ÷ 217
    98783 ÷ 131072     		y = 0.753654479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780509948730469 × 2 - 1) × π
    0.561019897460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.76249599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753654479980469 × 2 - 1) × π
    -0.507308959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59375810166801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76249599} λ = 1.76249599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59375810166801))-π/2
    2×atan(0.203160676804509)-π/2
    2×0.200432816703764-π/2
    0.400865633407528-1.57079632675     		φ = -1.16993069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76249599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.983582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16993069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.032091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102303 KachelY 98783 1.76249599 -1.16993069 100.983582 -67.032091
    Oben rechts KachelX + 1 102304 KachelY 98783 1.76254393 -1.16993069 100.986328 -67.032091
    Unten links KachelX 102303 KachelY + 1 98784 1.76249599 -1.16994940 100.983582 -67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 102304 KachelY + 1 98784 1.76254393 -1.16994940 100.986328 -67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16993069--1.16994940) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16993069--1.16994940) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76249599-1.76254393) × cos(-1.16993069) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390215500594988 × 6371000     		do = 119.181858029169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76249599-1.76254393) × cos(-1.16994940) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 119.176596519199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16993069)-sin(-1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390215500594988-0.390198273788991)×R²
    abs(1.76254393-1.76249599)×1.72268059966396e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72268059966396e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72268059966396e-05×40589641000000     		ar = 14206.3319341213m²