Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102302 / 98459
↖ ↑ ↗
← S 66.682349°
E100.980835°		 ← 120.90 m → S 66.682349°
E100.983582°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.683436°
E100.980835°		 ← 120.89 m →
14 611 m²		 S 66.683436°
E100.983582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780506134033203 y=0.751186370849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780506134033203 × 217)
    floor (0.780506134033203 × 131072)
    floor (102302.5)     		tx = 102302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751186370849609 × 217)
    floor (0.751186370849609 × 131072)
    floor (98459.5)     		ty = 98459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102302 / 98459 ti = "17/102302/98459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102302/98459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102302 ÷ 217
    102302 ÷ 131072     		x = 0.780502319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98459 ÷ 217
    98459 ÷ 131072     		y = 0.751182556152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780502319335938 × 2 - 1) × π
    0.561004638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76244805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751182556152344 × 2 - 1) × π
    -0.502365112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57822654619111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76244805} λ = 1.76244805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57822654619111))-π/2
    2×atan(0.206340709628993)-π/2
    2×0.203484895538076-π/2
    0.406969791076151-1.57079632675     		φ = -1.16382654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76244805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16382654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.682349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102302 KachelY 98459 1.76244805 -1.16382654 100.980835 -66.682349
    Oben rechts KachelX + 1 102303 KachelY 98459 1.76249599 -1.16382654 100.983582 -66.682349
    Unten links KachelX 102302 KachelY + 1 98460 1.76244805 -1.16384551 100.980835 -66.683436
    Unten rechts KachelX + 1 102303 KachelY + 1 98460 1.76249599 -1.16384551 100.983582 -66.683436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16382654--1.16384551) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16382654--1.16384551) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76244805-1.76249599) × cos(-1.16382654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395828430557137 × 6371000     		do = 120.896191315873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76244805-1.76249599) × cos(-1.16384551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3958110098705 × 6371000     		du = 120.890870589765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16382654)-sin(-1.16384551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395828430557137-0.3958110098705)×R²
    abs(1.76249599-1.76244805)×1.74206866370707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74206866370707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74206866370707e-05×40589641000000     		ar = 14610.9346479864m²