Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102291 / 98445
↖ ↑ ↗
← S 66.667124°
E100.950623°		 ← 120.95 m → S 66.667124°
E100.953369°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.668211°
E100.950623°		 ← 120.94 m →
14 625 m²		 S 66.668211°
E100.953369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780422210693359 y=0.751079559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780422210693359 × 217)
    floor (0.780422210693359 × 131072)
    floor (102291.5)     		tx = 102291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751079559326172 × 217)
    floor (0.751079559326172 × 131072)
    floor (98445.5)     		ty = 98445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102291 / 98445 ti = "17/102291/98445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102291/98445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102291 ÷ 217
    102291 ÷ 131072     		x = 0.780418395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98445 ÷ 217
    98445 ÷ 131072     		y = 0.751075744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780418395996094 × 2 - 1) × π
    0.560836791992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.76192075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751075744628906 × 2 - 1) × π
    -0.502151489257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57755542959643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76192075} λ = 1.76192075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57755542959643))-π/2
    2×atan(0.206479234781448)-π/2
    2×0.20361775999019-π/2
    0.40723551998038-1.57079632675     		φ = -1.16356081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76192075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.950623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16356081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.667124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102291 KachelY 98445 1.76192075 -1.16356081 100.950623 -66.667124
    Oben rechts KachelX + 1 102292 KachelY 98445 1.76196868 -1.16356081 100.953369 -66.667124
    Unten links KachelX 102291 KachelY + 1 98446 1.76192075 -1.16357979 100.950623 -66.668211
    Unten rechts KachelX + 1 102292 KachelY + 1 98446 1.76196868 -1.16357979 100.953369 -66.668211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16356081--1.16357979) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16356081--1.16357979) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76192075-1.76196868) × cos(-1.16356081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396072442943565 × 6371000     		do = 120.94548520438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76192075-1.76196868) × cos(-1.16357979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396055015070562 × 6371000     		du = 120.940163393701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16356081)-sin(-1.16357979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396072442943565-0.396055015070562)×R²
    abs(1.76196868-1.76192075)×1.74278730031285e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74278730031285e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74278730031285e-05×40589641000000     		ar = 14624.5974044186m²