Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102289 / 98767
↖ ↑ ↗
← S 67.014937°
E100.945129°		 ← 119.27 m → S 67.014937°
E100.947876°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
S 67.016009°
E100.945129°		 ← 119.26 m →
14 216 m²		 S 67.016009°
E100.947876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780406951904297 y=0.753536224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780406951904297 × 217)
    floor (0.780406951904297 × 131072)
    floor (102289.5)     		tx = 102289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753536224365234 × 217)
    floor (0.753536224365234 × 131072)
    floor (98767.5)     		ty = 98767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102289 / 98767 ti = "17/102289/98767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102289/98767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102289 ÷ 217
    102289 ÷ 131072     		x = 0.780403137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98767 ÷ 217
    98767 ÷ 131072     		y = 0.753532409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780403137207031 × 2 - 1) × π
    0.560806274414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.76182487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753532409667969 × 2 - 1) × π
    -0.507064819335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59299111127409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76182487} λ = 1.76182487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59299111127409))-π/2
    2×atan(0.20331655886442)-π/2
    2×0.200582515321913-π/2
    0.401165030643825-1.57079632675     		φ = -1.16963130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76182487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.945129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16963130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.014937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102289 KachelY 98767 1.76182487 -1.16963130 100.945129 -67.014937
    Oben rechts KachelX + 1 102290 KachelY 98767 1.76187281 -1.16963130 100.947876 -67.014937
    Unten links KachelX 102289 KachelY + 1 98768 1.76182487 -1.16965001 100.945129 -67.016009
    Unten rechts KachelX + 1 102290 KachelY + 1 98768 1.76187281 -1.16965001 100.947876 -67.016009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16963130--1.16965001) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16963130--1.16965001) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76182487-1.76187281) × cos(-1.16963130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390491138527375 × 6371000     		do = 119.266044948088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76182487-1.76187281) × cos(-1.16965001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390473913907928 × 6371000     		du = 119.260784105947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16963130)-sin(-1.16965001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390491138527375-0.390473913907928)×R²
    abs(1.76187281-1.76182487)×1.72246194468095e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72246194468095e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72246194468095e-05×40589641000000     		ar = 14216.3671734555m²