Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102286 / 98445
↖ ↑ ↗
← S 66.667124°
E100.936890°		 ← 120.97 m → S 66.667124°
E100.939636°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.668211°
E100.936890°		 ← 120.97 m →
14 628 m²		 S 66.668211°
E100.939636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780384063720703 y=0.751079559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780384063720703 × 217)
    floor (0.780384063720703 × 131072)
    floor (102286.5)     		tx = 102286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751079559326172 × 217)
    floor (0.751079559326172 × 131072)
    floor (98445.5)     		ty = 98445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102286 / 98445 ti = "17/102286/98445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102286/98445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102286 ÷ 217
    102286 ÷ 131072     		x = 0.780380249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98445 ÷ 217
    98445 ÷ 131072     		y = 0.751075744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780380249023438 × 2 - 1) × π
    0.560760498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76168106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751075744628906 × 2 - 1) × π
    -0.502151489257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.57755542959643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76168106} λ = 1.76168106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57755542959643))-π/2
    2×atan(0.206479234781448)-π/2
    2×0.20361775999019-π/2
    0.40723551998038-1.57079632675     		φ = -1.16356081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76168106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.936890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16356081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.667124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102286 KachelY 98445 1.76168106 -1.16356081 100.936890 -66.667124
    Oben rechts KachelX + 1 102287 KachelY 98445 1.76172900 -1.16356081 100.939636 -66.667124
    Unten links KachelX 102286 KachelY + 1 98446 1.76168106 -1.16357979 100.936890 -66.668211
    Unten rechts KachelX + 1 102287 KachelY + 1 98446 1.76172900 -1.16357979 100.939636 -66.668211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16356081--1.16357979) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dl = 120.921580000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16356081--1.16357979) × R
    1.89800000001128e-05 × 6371000     		dr = 120.921580000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76168106-1.76172900) × cos(-1.16356081) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396072442943565 × 6371000     		do = 120.970718980127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76168106-1.76172900) × cos(-1.16357979) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396055015070562 × 6371000     		du = 120.965396059118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16356081)-sin(-1.16357979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396072442943565-0.396055015070562)×R²
    abs(1.76172900-1.76168106)×1.74278730031285e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74278730031285e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74278730031285e-05×40589641000000     		ar = 14627.64864532m²