Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102284 / 98884
↖ ↑ ↗
← S 67.140098°
E100.931397°		 ← 118.63 m → S 67.140098°
E100.934143°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.141165°
E100.931397°		 ← 118.62 m →
14 072 m²		 S 67.141165°
E100.934143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780368804931641 y=0.754428863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780368804931641 × 217)
    floor (0.780368804931641 × 131072)
    floor (102284.5)     		tx = 102284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754428863525391 × 217)
    floor (0.754428863525391 × 131072)
    floor (98884.5)     		ty = 98884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102284 / 98884 ti = "17/102284/98884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102284/98884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102284 ÷ 217
    102284 ÷ 131072     		x = 0.780364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98884 ÷ 217
    98884 ÷ 131072     		y = 0.754425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780364990234375 × 2 - 1) × π
    0.56072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76158519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.50885009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59859972852963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76158519} λ = 1.76158519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59859972852963))-π/2
    2×atan(0.202179425956518)-π/2
    2×0.199490280725879-π/2
    0.398980561451758-1.57079632675     		φ = -1.17181577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76158519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.931397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17181577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.140098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102284 KachelY 98884 1.76158519 -1.17181577 100.931397 -67.140098
    Oben rechts KachelX + 1 102285 KachelY 98884 1.76163312 -1.17181577 100.934143 -67.140098
    Unten links KachelX 102284 KachelY + 1 98885 1.76158519 -1.17183439 100.931397 -67.141165
    Unten rechts KachelX + 1 102285 KachelY + 1 98885 1.76163312 -1.17183439 100.934143 -67.141165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17181577--1.17183439) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dl = 118.628019999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17181577--1.17183439) × R
    1.86199999998582e-05 × 6371000     		dr = 118.628019999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76158519-1.76163312) × cos(-1.17181577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388479170745166 × 6371000     		do = 118.626788191533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76158519-1.76163312) × cos(-1.17183439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388462013139077 × 6371000     		du = 118.621548910108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17181577)-sin(-1.17183439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388479170745166-0.388462013139077)×R²
    abs(1.76163312-1.76158519)×1.71576060895018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71576060895018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71576060895018e-05×40589641000000     		ar = 14072.1502396757m²