Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102280 / 96938
↖ ↑ ↗
← S 64.972388°
E100.920410°		 ← 129.21 m → S 64.972388°
E100.923157°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
S 64.973550°
E100.920410°		 ← 129.21 m →
16 694 m²		 S 64.973550°
E100.923157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780338287353516 y=0.739582061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780338287353516 × 217)
    floor (0.780338287353516 × 131072)
    floor (102280.5)     		tx = 102280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739582061767578 × 217)
    floor (0.739582061767578 × 131072)
    floor (96938.5)     		ty = 96938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102280 / 96938 ti = "17/102280/96938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102280/96938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102280 ÷ 217
    102280 ÷ 131072     		x = 0.78033447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96938 ÷ 217
    96938 ÷ 131072     		y = 0.739578247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78033447265625 × 2 - 1) × π
    0.5606689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76139344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739578247070312 × 2 - 1) × π
    -0.479156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.505314521869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76139344} λ = 1.76139344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.505314521869))-π/2
    2×atan(0.221947475518011)-π/2
    2×0.218407113198524-π/2
    0.436814226397049-1.57079632675     		φ = -1.13398210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76139344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13398210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.972388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102280 KachelY 96938 1.76139344 -1.13398210 100.920410 -64.972388
    Oben rechts KachelX + 1 102281 KachelY 96938 1.76144138 -1.13398210 100.923157 -64.972388
    Unten links KachelX 102280 KachelY + 1 96939 1.76139344 -1.13400238 100.920410 -64.973550
    Unten rechts KachelX + 1 102281 KachelY + 1 96939 1.76144138 -1.13400238 100.923157 -64.973550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13398210--1.13400238) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13398210--1.13400238) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76139344-1.76144138) × cos(-1.13398210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42305497487545 × 6371000     		do = 129.211878761931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76139344-1.76144138) × cos(-1.13400238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423036598999006 × 6371000     		du = 129.20626629627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13398210)-sin(-1.13400238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42305497487545-0.423036598999006)×R²
    abs(1.76144138-1.76139344)×1.83758764445985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83758764445985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83758764445985e-05×40589641000000     		ar = 16694.3135024891m²