Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10228 / 38900
↖ ↑ ↗
← S 31.896214°
W123.815918°		 ← 518.56 m → S 31.896214°
W123.810425°		 →
↑
518.60 m
↓
↑
518.60 m
↓
S 31.900878°
W123.815918°		 ← 518.54 m →
268 920 m²		 S 31.900878°
W123.810425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156074523925781 y=0.593574523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156074523925781 × 216)
    floor (0.156074523925781 × 65536)
    floor (10228.5)     		tx = 10228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593574523925781 × 216)
    floor (0.593574523925781 × 65536)
    floor (38900.5)     		ty = 38900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10228 / 38900 ti = "16/10228/38900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10228/38900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10228 ÷ 216
    10228 ÷ 65536     		x = 0.15606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38900 ÷ 216
    38900 ÷ 65536     		y = 0.59356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.6878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16099543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.1871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.587898136940369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16099543} λ = -2.16099543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587898136940369))-π/2
    2×atan(0.55549363009696)-π/2
    2×0.507051182750722-π/2
    1.01410236550144-1.57079632675     		φ = -0.55669396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16099543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.815918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55669396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.896214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10228 KachelY 38900 -2.16099543 -0.55669396 -123.815918 -31.896214
    Oben rechts KachelX + 1 10229 KachelY 38900 -2.16089956 -0.55669396 -123.810425 -31.896214
    Unten links KachelX 10228 KachelY + 1 38901 -2.16099543 -0.55677536 -123.815918 -31.900878
    Unten rechts KachelX + 1 10229 KachelY + 1 38901 -2.16089956 -0.55677536 -123.810425 -31.900878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55669396--0.55677536) × R
    8.14000000000092e-05 × 6371000     		dl = 518.599400000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55669396--0.55677536) × R
    8.14000000000092e-05 × 6371000     		dr = 518.599400000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16099543--2.16089956) × cos(-0.55669396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849006600429345 × 6371000     		do = 518.562848191509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16099543--2.16089956) × cos(-0.55677536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848963587302247 × 6371000     		du = 518.536576299528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55669396)-sin(-0.55677536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849006600429345-0.848963587302247)×R²
    abs(-2.16089956--2.16099543)×4.30131270982015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30131270982015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30131270982015e-05×40589641000000     		ar = 268919.569789318m²