Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102278 / 98873
↖ ↑ ↗
← S 67.128358°
E100.914917°		 ← 118.68 m → S 67.128358°
E100.917663°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.129426°
E100.914917°		 ← 118.68 m →
14 087 m²		 S 67.129426°
E100.917663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780323028564453 y=0.754344940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780323028564453 × 217)
    floor (0.780323028564453 × 131072)
    floor (102278.5)     		tx = 102278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754344940185547 × 217)
    floor (0.754344940185547 × 131072)
    floor (98873.5)     		ty = 98873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102278 / 98873 ti = "17/102278/98873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102278/98873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102278 ÷ 217
    102278 ÷ 131072     		x = 0.780319213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98873 ÷ 217
    98873 ÷ 131072     		y = 0.754341125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780319213867188 × 2 - 1) × π
    0.560638427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76129757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754341125488281 × 2 - 1) × π
    -0.508682250976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59807242263381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76129757} λ = 1.76129757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59807242263381))-π/2
    2×atan(0.202286064472926)-π/2
    2×0.199592729292212-π/2
    0.399185458584425-1.57079632675     		φ = -1.17161087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76129757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.914917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17161087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.128358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102278 KachelY 98873 1.76129757 -1.17161087 100.914917 -67.128358
    Oben rechts KachelX + 1 102279 KachelY 98873 1.76134550 -1.17161087 100.917663 -67.128358
    Unten links KachelX 102278 KachelY + 1 98874 1.76129757 -1.17162950 100.914917 -67.129426
    Unten rechts KachelX + 1 102279 KachelY + 1 98874 1.76134550 -1.17162950 100.917663 -67.129426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17161087--1.17162950) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17161087--1.17162950) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76129757-1.76134550) × cos(-1.17161087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388667969231705 × 6371000     		do = 118.684440080644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76129757-1.76134550) × cos(-1.17162950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388650803894232 × 6371000     		du = 118.679198438347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17161087)-sin(-1.17162950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388667969231705-0.388650803894232)×R²
    abs(1.76134550-1.76129757)×1.71653374729797e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71653374729797e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71653374729797e-05×40589641000000     		ar = 14086.5504480456m²