Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102276 / 98879
↖ ↑ ↗
← S 67.134762°
E100.909424°		 ← 118.68 m → S 67.134762°
E100.912170°		 →
↑
118.69 m
↓
↑
118.69 m
↓
S 67.135829°
E100.909424°		 ← 118.67 m →
14 086 m²		 S 67.135829°
E100.912170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780307769775391 y=0.754390716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780307769775391 × 217)
    floor (0.780307769775391 × 131072)
    floor (102276.5)     		tx = 102276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754390716552734 × 217)
    floor (0.754390716552734 × 131072)
    floor (98879.5)     		ty = 98879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102276 / 98879 ti = "17/102276/98879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102276/98879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102276 ÷ 217
    102276 ÷ 131072     		x = 0.780303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98879 ÷ 217
    98879 ÷ 131072     		y = 0.754386901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780303955078125 × 2 - 1) × π
    0.56060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76120169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754386901855469 × 2 - 1) × π
    -0.508773803710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59836004403153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76120169} λ = 1.76120169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59836004403153))-π/2
    2×atan(0.202227891038686)-π/2
    2×0.199536842085417-π/2
    0.399073684170835-1.57079632675     		φ = -1.17172264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76120169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17172264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.134762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102276 KachelY 98879 1.76120169 -1.17172264 100.909424 -67.134762
    Oben rechts KachelX + 1 102277 KachelY 98879 1.76124963 -1.17172264 100.912170 -67.134762
    Unten links KachelX 102276 KachelY + 1 98880 1.76120169 -1.17174127 100.909424 -67.135829
    Unten rechts KachelX + 1 102277 KachelY + 1 98880 1.76124963 -1.17174127 100.912170 -67.135829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17172264--1.17174127) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dl = 118.691730000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17172264--1.17174127) × R
    1.86300000000195e-05 × 6371000     		dr = 118.691730000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76120169-1.76124963) × cos(-1.17172264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388564984397824 × 6371000     		do = 118.677747897716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76120169-1.76124963) × cos(-1.17174127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388547818251162 × 6371000     		du = 118.672504914669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17172264)-sin(-1.17174127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388564984397824-0.388547818251162)×R²
    abs(1.76124963-1.76120169)×1.71661466614736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71661466614736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71661466614736e-05×40589641000000     		ar = 14085.7560616078m²