Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102271 / 98541
↖ ↑ ↗
← S 66.771336°
E100.895691°		 ← 120.44 m → S 66.771336°
E100.898437°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.772420°
E100.895691°		 ← 120.43 m →
14 509 m²		 S 66.772420°
E100.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780269622802734 y=0.751811981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780269622802734 × 217)
    floor (0.780269622802734 × 131072)
    floor (102271.5)     		tx = 102271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751811981201172 × 217)
    floor (0.751811981201172 × 131072)
    floor (98541.5)     		ty = 98541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102271 / 98541 ti = "17/102271/98541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102271/98541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102271 ÷ 217
    102271 ÷ 131072     		x = 0.780265808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98541 ÷ 217
    98541 ÷ 131072     		y = 0.751808166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780265808105469 × 2 - 1) × π
    0.560531616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.76096201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.503616333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58215737195995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76096201} λ = 1.76096201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58215737195995))-π/2
    2×atan(0.205531212289245)-π/2
    2×0.202708331998465-π/2
    0.405416663996931-1.57079632675     		φ = -1.16537966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76096201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.895691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16537966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.771336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102271 KachelY 98541 1.76096201 -1.16537966 100.895691 -66.771336
    Oben rechts KachelX + 1 102272 KachelY 98541 1.76100994 -1.16537966 100.898437 -66.771336
    Unten links KachelX 102271 KachelY + 1 98542 1.76096201 -1.16539857 100.895691 -66.772420
    Unten rechts KachelX + 1 102272 KachelY + 1 98542 1.76100994 -1.16539857 100.898437 -66.772420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16537966--1.16539857) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16537966--1.16539857) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76096201-1.76100994) × cos(-1.16537966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39440168560667 × 6371000     		do = 120.435299352348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76096201-1.76100994) × cos(-1.16539857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		du = 120.429993018091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16537966)-sin(-1.16539857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39440168560667-0.394384308415873)×R²
    abs(1.76100994-1.76096201)×1.73771907970854e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73771907970854e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73771907970854e-05×40589641000000     		ar = 14509.1965136062m²