Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102270 / 98889
↖ ↑ ↗
← S 67.145432°
E100.892944°		 ← 118.63 m → S 67.145432°
E100.895691°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
S 67.146499°
E100.892944°		 ← 118.62 m →
14 072 m²		 S 67.146499°
E100.895691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780261993408203 y=0.754467010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780261993408203 × 217)
    floor (0.780261993408203 × 131072)
    floor (102270.5)     		tx = 102270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754467010498047 × 217)
    floor (0.754467010498047 × 131072)
    floor (98889.5)     		ty = 98889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102270 / 98889 ti = "17/102270/98889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102270/98889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102270 ÷ 217
    102270 ÷ 131072     		x = 0.780258178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98889 ÷ 217
    98889 ÷ 131072     		y = 0.754463195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780258178710938 × 2 - 1) × π
    0.560516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76091407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754463195800781 × 2 - 1) × π
    -0.508926391601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59883941302773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76091407} λ = 1.76091407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59883941302773))-π/2
    2×atan(0.202130972489285)-π/2
    2×0.199443729648704-π/2
    0.398887459297408-1.57079632675     		φ = -1.17190887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76091407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.892944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17190887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.145432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102270 KachelY 98889 1.76091407 -1.17190887 100.892944 -67.145432
    Oben rechts KachelX + 1 102271 KachelY 98889 1.76096201 -1.17190887 100.895691 -67.145432
    Unten links KachelX 102270 KachelY + 1 98890 1.76091407 -1.17192749 100.892944 -67.146499
    Unten rechts KachelX + 1 102271 KachelY + 1 98890 1.76096201 -1.17192749 100.895691 -67.146499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17190887--1.17192749) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17190887--1.17192749) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76091407-1.76096201) × cos(-1.17190887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388393381367963 × 6371000     		do = 118.625335915334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76091407-1.76096201) × cos(-1.17192749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.388376223088525 × 6371000     		du = 118.62009533514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17190887)-sin(-1.17192749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388393381367963-0.388376223088525)×R²
    abs(1.76096201-1.76091407)×1.71582794377123e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71582794377123e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71582794377123e-05×40589641000000     		ar = 14071.9778820712m²