Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102267 / 98444
↖ ↑ ↗
← S 66.666036°
E100.884705°		 ← 120.98 m → S 66.666036°
E100.887451°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.667124°
E100.884705°		 ← 120.97 m →
14 636 m²		 S 66.667124°
E100.887451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780239105224609 y=0.751071929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780239105224609 × 217)
    floor (0.780239105224609 × 131072)
    floor (102267.5)     		tx = 102267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751071929931641 × 217)
    floor (0.751071929931641 × 131072)
    floor (98444.5)     		ty = 98444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102267 / 98444 ti = "17/102267/98444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102267/98444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102267 ÷ 217
    102267 ÷ 131072     		x = 0.780235290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98444 ÷ 217
    98444 ÷ 131072     		y = 0.751068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780235290527344 × 2 - 1) × π
    0.560470581054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.76077026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.50213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57750749269681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76077026} λ = 1.76077026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57750749269681))-π/2
    2×atan(0.206489132993043)-π/2
    2×0.203627253441662-π/2
    0.407254506883325-1.57079632675     		φ = -1.16354182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76077026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.884705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16354182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.666036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102267 KachelY 98444 1.76077026 -1.16354182 100.884705 -66.666036
    Oben rechts KachelX + 1 102268 KachelY 98444 1.76081820 -1.16354182 100.887451 -66.666036
    Unten links KachelX 102267 KachelY + 1 98445 1.76077026 -1.16356081 100.884705 -66.667124
    Unten rechts KachelX + 1 102268 KachelY + 1 98445 1.76081820 -1.16356081 100.887451 -66.667124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16354182--1.16356081) × R
    1.898999999983e-05 × 6371000     		dl = 120.985289998917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16354182--1.16356081) × R
    1.898999999983e-05 × 6371000     		dr = 120.985289998917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76077026-1.76081820) × cos(-1.16354182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396089879856004 × 6371000     		do = 120.976044661452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76077026-1.76081820) × cos(-1.16356081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396072442943565 × 6371000     		du = 120.970718979567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16354182)-sin(-1.16356081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396089879856004-0.396072442943565)×R²
    abs(1.76081820-1.76077026)×1.7436912438995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7436912438995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7436912438995e-05×40589641000000     		ar = 14635.9996821922m²