Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102263 / 98569
↖ ↑ ↗
← S 66.801649°
E100.873718°		 ← 120.31 m → S 66.801649°
E100.876465°		 →
↑
120.28 m
↓
↑
120.28 m
↓
S 66.802731°
E100.873718°		 ← 120.31 m →
14 471 m²		 S 66.802731°
E100.876465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780208587646484 y=0.752025604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780208587646484 × 217)
    floor (0.780208587646484 × 131072)
    floor (102263.5)     		tx = 102263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752025604248047 × 217)
    floor (0.752025604248047 × 131072)
    floor (98569.5)     		ty = 98569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102263 / 98569 ti = "17/102263/98569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102263/98569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102263 ÷ 217
    102263 ÷ 131072     		x = 0.780204772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98569 ÷ 217
    98569 ÷ 131072     		y = 0.752021789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780204772949219 × 2 - 1) × π
    0.560409545898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.76057851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752021789550781 × 2 - 1) × π
    -0.504043579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.58349960514931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76057851} λ = 1.76057851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58349960514931))-π/2
    2×atan(0.205255526533335)-π/2
    2×0.202443805667159-π/2
    0.404887611334317-1.57079632675     		φ = -1.16590872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76057851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.873718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16590872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.801649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102263 KachelY 98569 1.76057851 -1.16590872 100.873718 -66.801649
    Oben rechts KachelX + 1 102264 KachelY 98569 1.76062645 -1.16590872 100.876465 -66.801649
    Unten links KachelX 102263 KachelY + 1 98570 1.76057851 -1.16592760 100.873718 -66.802731
    Unten rechts KachelX + 1 102264 KachelY + 1 98570 1.76062645 -1.16592760 100.876465 -66.802731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16590872--1.16592760) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dl = 120.284480000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16590872--1.16592760) × R
    1.88800000000544e-05 × 6371000     		dr = 120.284480000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76057851-1.76062645) × cos(-1.16590872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393915457018094 × 6371000     		do = 120.311919957111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76057851-1.76062645) × cos(-1.16592760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393898103458638 × 6371000     		du = 120.306619733372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16590872)-sin(-1.16592760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393915457018094-0.393898103458638)×R²
    abs(1.76062645-1.76057851)×1.73535594557572e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73535594557572e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73535594557572e-05×40589641000000     		ar = 14471.3379630071m²