Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102260 / 97045
↖ ↑ ↗
← S 65.096429°
E100.865478°		 ← 128.61 m → S 65.096429°
E100.868225°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.097585°
E100.865478°		 ← 128.61 m →
16 535 m²		 S 65.097585°
E100.868225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780185699462891 y=0.740398406982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780185699462891 × 217)
    floor (0.780185699462891 × 131072)
    floor (102260.5)     		tx = 102260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740398406982422 × 217)
    floor (0.740398406982422 × 131072)
    floor (97045.5)     		ty = 97045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102260 / 97045 ti = "17/102260/97045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102260/97045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102260 ÷ 217
    102260 ÷ 131072     		x = 0.780181884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97045 ÷ 217
    97045 ÷ 131072     		y = 0.740394592285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780181884765625 × 2 - 1) × π
    0.56036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76043470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740394592285156 × 2 - 1) × π
    -0.480789184570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51044377012835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76043470} λ = 1.76043470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51044377012835))-π/2
    2×atan(0.220811966459002)-π/2
    2×0.217324654434921-π/2
    0.434649308869842-1.57079632675     		φ = -1.13614702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76043470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.865478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13614702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.096429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102260 KachelY 97045 1.76043470 -1.13614702 100.865478 -65.096429
    Oben rechts KachelX + 1 102261 KachelY 97045 1.76048264 -1.13614702 100.868225 -65.096429
    Unten links KachelX 102260 KachelY + 1 97046 1.76043470 -1.13616720 100.865478 -65.097585
    Unten rechts KachelX + 1 102261 KachelY + 1 97046 1.76048264 -1.13616720 100.868225 -65.097585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13614702--1.13616720) × R
    2.01800000001473e-05 × 6371000     		dl = 128.566780000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13614702--1.13616720) × R
    2.01800000001473e-05 × 6371000     		dr = 128.566780000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76043470-1.76048264) × cos(-1.13614702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421092342297689 × 6371000     		do = 128.612440254521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76043470-1.76048264) × cos(-1.13616720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421074038593304 × 6371000     		du = 128.606849832064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13614702)-sin(-1.13616720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421092342297689-0.421074038593304)×R²
    abs(1.76048264-1.76043470)×1.83037043849921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83037043849921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83037043849921e-05×40589641000000     		ar = 16534.9279407764m²