Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102258 / 98481
↖ ↑ ↗
← S 66.706255°
E100.859985°		 ← 120.75 m → S 66.706255°
E100.862732°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.707341°
E100.859985°		 ← 120.75 m →
14 578 m²		 S 66.707341°
E100.862732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780170440673828 y=0.751354217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780170440673828 × 217)
    floor (0.780170440673828 × 131072)
    floor (102258.5)     		tx = 102258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751354217529297 × 217)
    floor (0.751354217529297 × 131072)
    floor (98481.5)     		ty = 98481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102258 / 98481 ti = "17/102258/98481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102258/98481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102258 ÷ 217
    102258 ÷ 131072     		x = 0.780166625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98481 ÷ 217
    98481 ÷ 131072     		y = 0.751350402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780166625976562 × 2 - 1) × π
    0.560333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76033883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751350402832031 × 2 - 1) × π
    -0.502700805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.57928115798275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76033883} λ = 1.76033883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57928115798275))-π/2
    2×atan(0.206123214989887)-π/2
    2×0.203276273915699-π/2
    0.406552547831398-1.57079632675     		φ = -1.16424378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76033883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16424378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.706255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102258 KachelY 98481 1.76033883 -1.16424378 100.859985 -66.706255
    Oben rechts KachelX + 1 102259 KachelY 98481 1.76038676 -1.16424378 100.862732 -66.706255
    Unten links KachelX 102258 KachelY + 1 98482 1.76033883 -1.16426273 100.859985 -66.707341
    Unten rechts KachelX + 1 102259 KachelY + 1 98482 1.76038676 -1.16426273 100.862732 -66.707341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16424378--1.16426273) × R
    1.8949999999851e-05 × 6371000     		dl = 120.730449999051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16424378--1.16426273) × R
    1.8949999999851e-05 × 6371000     		dr = 120.730449999051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76033883-1.76038676) × cos(-1.16424378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395445234406808 × 6371000     		do = 120.753959532363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76033883-1.76038676) × cos(-1.16426273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395427828958699 × 6371000     		du = 120.748644569395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16424378)-sin(-1.16426273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395445234406808-0.395427828958699)×R²
    abs(1.76038676-1.76033883)×1.74054481094088e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74054481094088e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74054481094088e-05×40589641000000     		ar = 14578.359034848m²