Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102257 / 98483
↖ ↑ ↗
← S 66.708427°
E100.857239°		 ← 120.77 m → S 66.708427°
E100.859985°		 →
↑
120.73 m
↓
↑
120.73 m
↓
S 66.709513°
E100.857239°		 ← 120.76 m →
14 580 m²		 S 66.709513°
E100.859985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780162811279297 y=0.751369476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780162811279297 × 217)
    floor (0.780162811279297 × 131072)
    floor (102257.5)     		tx = 102257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751369476318359 × 217)
    floor (0.751369476318359 × 131072)
    floor (98483.5)     		ty = 98483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102257 / 98483 ti = "17/102257/98483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102257/98483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102257 ÷ 217
    102257 ÷ 131072     		x = 0.780158996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98483 ÷ 217
    98483 ÷ 131072     		y = 0.751365661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780158996582031 × 2 - 1) × π
    0.560317993164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.76029089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751365661621094 × 2 - 1) × π
    -0.502731323242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57937703178199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76029089} λ = 1.76029089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57937703178199))-π/2
    2×atan(0.206103454121444)-π/2
    2×0.203257318331769-π/2
    0.406514636663538-1.57079632675     		φ = -1.16428169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76029089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.857239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16428169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.708427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102257 KachelY 98483 1.76029089 -1.16428169 100.857239 -66.708427
    Oben rechts KachelX + 1 102258 KachelY 98483 1.76033883 -1.16428169 100.859985 -66.708427
    Unten links KachelX 102257 KachelY + 1 98484 1.76029089 -1.16430064 100.857239 -66.709513
    Unten rechts KachelX + 1 102258 KachelY + 1 98484 1.76033883 -1.16430064 100.859985 -66.709513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16428169--1.16430064) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dl = 120.730450000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16428169--1.16430064) × R
    1.89500000000731e-05 × 6371000     		dr = 120.730450000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76029089-1.76033883) × cos(-1.16428169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395410414183545 × 6371000     		do = 120.768518355636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76029089-1.76033883) × cos(-1.16430064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395393008451368 × 6371000     		du = 120.763202197006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16428169)-sin(-1.16430064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395410414183545-0.395393008451368)×R²
    abs(1.76033883-1.76029089)×1.7405732176512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7405732176512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7405732176512e-05×40589641000000     		ar = 14580.1166563243m²