Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102256 / 96720
↖ ↑ ↗
← S 64.717880°
E100.854492°		 ← 130.44 m → S 64.717880°
E100.857239°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.719053°
E100.854492°		 ← 130.43 m →
17 011 m²		 S 64.719053°
E100.857239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780155181884766 y=0.737918853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780155181884766 × 217)
    floor (0.780155181884766 × 131072)
    floor (102256.5)     		tx = 102256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737918853759766 × 217)
    floor (0.737918853759766 × 131072)
    floor (96720.5)     		ty = 96720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102256 / 96720 ti = "17/102256/96720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102256/96720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102256 ÷ 217
    102256 ÷ 131072     		x = 0.7801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96720 ÷ 217
    96720 ÷ 131072     		y = 0.7379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7801513671875 × 2 - 1) × π
    0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76024295} λ = 1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49486427775183))-π/2
    2×atan(0.2242790423208)-π/2
    2×0.220628118589708-π/2
    0.441256237179417-1.57079632675     		φ = -1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102256 KachelY 96720 1.76024295 -1.12954009 100.854492 -64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 102257 KachelY 96720 1.76029089 -1.12954009 100.857239 -64.717880
    Unten links KachelX 102256 KachelY + 1 96721 1.76024295 -1.12956056 100.854492 -64.719053
    Unten rechts KachelX + 1 102257 KachelY + 1 96721 1.76029089 -1.12956056 100.857239 -64.719053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12954009--1.12956056) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12954009--1.12956056) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76024295-1.76029089) × cos(-1.12954009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 130.439915068899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76024295-1.76029089) × cos(-1.12956056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42705720161426 × 6371000     		du = 130.434261825279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12954009)-sin(-1.12956056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.42705720161426)×R²
    abs(1.76029089-1.76024295)×1.85093883061649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85093883061649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85093883061649e-05×40589641000000     		ar = 17010.8707150655m²