Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102255 / 98451
↖ ↑ ↗
← S 66.673650°
E100.851746°		 ← 120.91 m → S 66.673650°
E100.854492°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.674737°
E100.851746°		 ← 120.91 m →
14 621 m²		 S 66.674737°
E100.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780147552490234 y=0.751125335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780147552490234 × 217)
    floor (0.780147552490234 × 131072)
    floor (102255.5)     		tx = 102255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751125335693359 × 217)
    floor (0.751125335693359 × 131072)
    floor (98451.5)     		ty = 98451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102255 / 98451 ti = "17/102255/98451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102255/98451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102255 ÷ 217
    102255 ÷ 131072     		x = 0.780143737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98451 ÷ 217
    98451 ÷ 131072     		y = 0.751121520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780143737792969 × 2 - 1) × π
    0.560287475585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.76019502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751121520996094 × 2 - 1) × π
    -0.502243041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57784305099415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76019502} λ = 1.76019502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57784305099415))-π/2
    2×atan(0.206419855475129)-π/2
    2×0.203560808055893-π/2
    0.407121616111787-1.57079632675     		φ = -1.16367471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76019502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.851746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16367471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.673650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102255 KachelY 98451 1.76019502 -1.16367471 100.851746 -66.673650
    Oben rechts KachelX + 1 102256 KachelY 98451 1.76024295 -1.16367471 100.854492 -66.673650
    Unten links KachelX 102255 KachelY + 1 98452 1.76019502 -1.16369369 100.851746 -66.674737
    Unten rechts KachelX + 1 102256 KachelY + 1 98452 1.76024295 -1.16369369 100.854492 -66.674737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16367471--1.16369369) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16367471--1.16369369) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76019502-1.76024295) × cos(-1.16367471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39596785520026 × 6371000     		do = 120.913548078771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76019502-1.76024295) × cos(-1.16369369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.395950426471151 × 6371000     		du = 120.90822600667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16367471)-sin(-1.16369369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39596785520026-0.395950426471151)×R²
    abs(1.76024295-1.76019502)×1.74287291090924e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74287291090924e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74287291090924e-05×40589641000000     		ar = 14620.735500611m²