Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102254 / 98541
↖ ↑ ↗
← S 66.771336°
E100.848999°		 ← 120.46 m → S 66.771336°
E100.851746°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.772420°
E100.848999°		 ← 120.46 m →
14 512 m²		 S 66.772420°
E100.851746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780139923095703 y=0.751811981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780139923095703 × 217)
    floor (0.780139923095703 × 131072)
    floor (102254.5)     		tx = 102254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751811981201172 × 217)
    floor (0.751811981201172 × 131072)
    floor (98541.5)     		ty = 98541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102254 / 98541 ti = "17/102254/98541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102254/98541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102254 ÷ 217
    102254 ÷ 131072     		x = 0.780136108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98541 ÷ 217
    98541 ÷ 131072     		y = 0.751808166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780136108398438 × 2 - 1) × π
    0.560272216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76014708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.503616333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58215737195995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76014708} λ = 1.76014708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58215737195995))-π/2
    2×atan(0.205531212289245)-π/2
    2×0.202708331998465-π/2
    0.405416663996931-1.57079632675     		φ = -1.16537966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76014708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16537966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.771336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102254 KachelY 98541 1.76014708 -1.16537966 100.848999 -66.771336
    Oben rechts KachelX + 1 102255 KachelY 98541 1.76019502 -1.16537966 100.851746 -66.771336
    Unten links KachelX 102254 KachelY + 1 98542 1.76014708 -1.16539857 100.848999 -66.772420
    Unten rechts KachelX + 1 102255 KachelY + 1 98542 1.76019502 -1.16539857 100.851746 -66.772420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16537966--1.16539857) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16537966--1.16539857) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76014708-1.76019502) × cos(-1.16537966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39440168560667 × 6371000     		do = 120.460426683586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76014708-1.76019502) × cos(-1.16539857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		du = 120.455119242227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16537966)-sin(-1.16539857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39440168560667-0.394384308415873)×R²
    abs(1.76019502-1.76014708)×1.73771907970854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73771907970854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73771907970854e-05×40589641000000     		ar = 14512.2236774755m²