Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102252 / 96908
↖ ↑ ↗
← S 64.937507°
E100.843506°		 ← 129.35 m → S 64.937507°
E100.846252°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
S 64.938670°
E100.843506°		 ← 129.35 m →
16 729 m²		 S 64.938670°
E100.846252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780124664306641 y=0.739353179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780124664306641 × 217)
    floor (0.780124664306641 × 131072)
    floor (102252.5)     		tx = 102252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739353179931641 × 217)
    floor (0.739353179931641 × 131072)
    floor (96908.5)     		ty = 96908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102252 / 96908 ti = "17/102252/96908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102252/96908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102252 ÷ 217
    102252 ÷ 131072     		x = 0.780120849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96908 ÷ 217
    96908 ÷ 131072     		y = 0.739349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780120849609375 × 2 - 1) × π
    0.56024169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76005121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.47869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5038764148804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76005121} λ = 1.76005121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5038764148804))-π/2
    2×atan(0.222266889354242)-π/2
    2×0.218711510620636-π/2
    0.437423021241271-1.57079632675     		φ = -1.13337331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76005121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13337331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.937507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102252 KachelY 96908 1.76005121 -1.13337331 100.843506 -64.937507
    Oben rechts KachelX + 1 102253 KachelY 96908 1.76009914 -1.13337331 100.846252 -64.937507
    Unten links KachelX 102252 KachelY + 1 96909 1.76005121 -1.13339361 100.843506 -64.938670
    Unten rechts KachelX + 1 102253 KachelY + 1 96909 1.76009914 -1.13339361 100.846252 -64.938670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13337331--1.13339361) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dl = 129.331299999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13337331--1.13339361) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dr = 129.331299999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76005121-1.76009914) × cos(-1.13337331) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.42360652350799 × 6371000     		do = 129.353347939122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76005121-1.76009914) × cos(-1.13339361) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.423588134740886 × 6371000     		du = 129.34773270787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13337331)-sin(-1.13339361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42360652350799-0.423588134740886)×R²
    abs(1.76009914-1.76005121)×1.83887671035832e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.83887671035832e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.83887671035832e-05×40589641000000     		ar = 16729.073536138m²