Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102251 / 96102
↖ ↑ ↗
← S 63.983190°
E100.840759°		 ← 133.97 m → S 63.983190°
E100.843506°		 →
↑
133.92 m
↓
↑
133.92 m
↓
S 63.984395°
E100.840759°		 ← 133.96 m →
17 941 m²		 S 63.984395°
E100.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780117034912109 y=0.733203887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780117034912109 × 217)
    floor (0.780117034912109 × 131072)
    floor (102251.5)     		tx = 102251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733203887939453 × 217)
    floor (0.733203887939453 × 131072)
    floor (96102.5)     		ty = 96102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102251 / 96102 ti = "17/102251/96102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102251/96102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102251 ÷ 217
    102251 ÷ 131072     		x = 0.780113220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96102 ÷ 217
    96102 ÷ 131072     		y = 0.733200073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780113220214844 × 2 - 1) × π
    0.560226440429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.76000327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733200073242188 × 2 - 1) × π
    -0.466400146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46523927378664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76000327} λ = 1.76000327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46523927378664))-π/2
    2×atan(0.231022707185606)-π/2
    2×0.227039494877521-π/2
    0.454078989755041-1.57079632675     		φ = -1.11671734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76000327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.840759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11671734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.983190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102251 KachelY 96102 1.76000327 -1.11671734 100.840759 -63.983190
    Oben rechts KachelX + 1 102252 KachelY 96102 1.76005121 -1.11671734 100.843506 -63.983190
    Unten links KachelX 102251 KachelY + 1 96103 1.76000327 -1.11673836 100.840759 -63.984395
    Unten rechts KachelX + 1 102252 KachelY + 1 96103 1.76005121 -1.11673836 100.843506 -63.984395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11671734--1.11673836) × R
    2.10200000001493e-05 × 6371000     		dl = 133.918420000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11671734--1.11673836) × R
    2.10200000001493e-05 × 6371000     		dr = 133.918420000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76000327-1.76005121) × cos(-1.11671734) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.438634817263926 × 6371000     		do = 133.970363653132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76000327-1.76005121) × cos(-1.11673836) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.438615927220364 × 6371000     		du = 133.964594147598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11671734)-sin(-1.11673836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438634817263926-0.438615927220364)×R²
    abs(1.76005121-1.76000327)×1.88900435623696e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.88900435623696e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.88900435623696e-05×40589641000000     		ar = 17940.7131063925m²